[논문 리뷰] Faster Distributed Shortest Path Approximations via Shortcuts

Bernhard Haeupler, Jason Li|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 15인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 네트워크 구조에 적응하는 저지조화도 단서를 통해 분산 최단경로 근사 알고리즘을 처음으로 제안하며, Q가 단서 품질임을 감안해 거의 최적의 O~(Q) 런타임을 달성한다. 조정 가능한 매개변수 β를 활용해 다항근사의 정확도를 임의로 높일 수 있으며, O~(Q) 라운드 내에서 다항근사가 가능하고, O~(Q·n^ε) 라운드 내에서 다중로그 근사가 가능하여, 평면 또는 유한성 수준이 낮은 그래프와 같은 비병행적 구조에서 Ω~(√n + D) 장벽을 크게 뛰어넘는다.

ABSTRACT

A long series of recent results and breakthroughs have led to faster and better distributed approximation algorithms for single source shortest paths (SSSP) and related problems in the CONGEST model. The runtime of all these algorithms, however, is Omega~(sqrt{n}), regardless of the network topology, even on nice networks with a (poly)logarithmic network diameter D. While this is known to be necessary for some pathological networks, most topologies of interest are arguably not of this type. We give the first distributed approximation algorithms for shortest paths problems that adjust to the topology they are run on, thus achieving significantly faster running times on many topologies of interest. The running time of our algorithms depends on and is close to Q, where Q is the quality of the best shortcut that exists for the given topology. While Q = Theta~(sqrt{n} + D) for pathological worst-case topologies, many topologies of interest have Q = Theta~(D), which results in near instance optimal running times for our algorithm, given the trivial Omega(D) lower bound. The problems we consider are as follows: - an approximate shortest path tree and SSSP distances, - a polylogarithmic size distance label for every node such that from the labels of any two nodes alone one can determine their distance (approximately), and - an (approximately) optimal flow for the transshipment problem. Our algorithms have a tunable tradeoff between running time and approximation ratio. Our fastest algorithms have an arbitrarily good polynomial approximation guarantee and an essentially optimal O~(Q) running time. On the other end of the spectrum, we achieve polylogarithmic approximations in O~(Q * n^epsilon) rounds for any epsilon > 0. It seems likely that eventually, our non-trivial approximation algorithms for the SSSP tree and transshipment problem can be bootstrapped to give fast Q * 2^O(sqrt{log n log log n}) round (1+epsilon)-approximation algorithms using a recent result by Becker et al.

연구 동기 및 목표

• 비병행적 구조에서 분산 SSSP 알고리즘의 Ω~(√n + D) 런타임 장벽을 극복하기 위해.
• SSSP, 거리 레이블링, 전송 흐름에 대한 근사 알고리즘 설계를 통해 네트워크의 단서 품질 Q에 적응하도록 하기 위해.
• 근사 비율을 조절할 수 있는 동시에 거의 최적의 런타임 O~(Q) 를 달성하기 위해.
• 낮은 단서 품질을 가진 구조, 예를 들어 평면 또는 유한성 수준이 낮은 그래프에서 단서 기반 알고리즘이 전통적 접근보다 뛰어난 성능을 보임을 입증하기 위해.

제안 방법

• CONGEST 모델에서 통신의 어려움을 단서 품질 Q로 모델링하기 위해 저지조화도 단서 프레임워크를 사용한다.
• 반경 매개변수 R를 사용하는 계층적 클러스터링을 기반으로 한 무작위 알고리즘인 ExpectedSPForest를 도입하여 근사 최단경로 숲을 구축한다.
• 다중 라운드 샘플링을 통한 재귀적 클러스터링 및 병합 과정을 통해 노드 쌍의 고확률 커버리지를 보장한다.
• 거리 레이블링에 단서 프레임워크를 적용하여 각 노드에 클러스터 ID와 반경을 기반으로 레이블을 할당함으로써, 레이블만으로도 근사 거리 질의를 가능하게 한다.
• 루트가 있는 트리에서의 집계 서브트리 계산을 활용해 유량 수요를 계산함으로써 효율적인 전송 흐름 근사 계산을 가능하게 한다.
• ExpectedTS의 반복 실행과 마르코프 부등식을 활용해 전송 흐름의 고확률 근사 보장을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비병행적 구조에서 분산 최단경로 근사 알고리즘이 Ω~(√n + D) 이하의 런타임을 달성할 수 있는가?
• RQ2 단서 품질 Q는 실제로 분산 최단경로 알고리즘의 성능과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 다중로그 레이블 크기를 가진 거리 레이블링 체계가 로컬 정보만으로도 근사 거리 질의를 지원할 수 있는가?
• RQ4 단서 기반 기법을 사용해 CONGEST 모델에서 전송 흐름을 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ5 기하급수적 내림표기법 또는 다중 가중치 최적화 도구를 활용해 근사 비율을 (1+ε) 수준으로 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 SSSP 및 거리 레이블링에 대해 다항근사의 경우 O~(Q) 런타임을 달성하며, Q는 네트워크의 단서 품질을 의미한다.
• 모든 ε > 0 에 대해, 다중로그 근사가 O~(Q·n^ε) 라운드 내에서 계산되며, 이는 Ω~(√n + D) 하한선을 크게 뛰어넘는다.
• 최근 Becker 등이 제시한 결과를 활용해, 전송 흐름 및 SSSP에 대해 (1+ε)-근사가 O~(Q·2^O(√(log n log log n))) 라운드 내에서 잠재적으로 달성될 수 있다.
• 전송 흐름 및 SSSP에 대해 O~(1/β · n^{O(log log n)/log(1/β)}) 근사 비율을 달성하며, 이에 따른 런타임은 O~(1/β · Q) 이다.
• Q = O~(D) 인 구조, 예를 들어 평면 또는 유한성 수준이 낮은 그래프에서는 알고리즘이 O~(D) 시간 내에 실행되며, 거의 최적의 성능을 달성한다.
• 프레임워크는 다중로그 레이블 크기와 레이블만으로도 상수 시간 내에 근사 거리 질의를 수행할 수 있는 효율적인 거리 레이블링을 지원한다.