[论文解读] Fertility, Strong Fertility, and Postorder Wilf Equivalence

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 39被引用 6

一句话总结

本文在威斯的堆栈排序映射背景下，引入了三种新的威斯等价变体——可育性等价、强可育性等价和后序威斯等价。通过在有效胡克配置上开发滑动算子并利用自然分解，作者构建了显式的双射，揭示了无限多组表现出这些等价关系的排列类，从而实现了多个统计量的联合等分布，并推广了关于可育性和布尔-卡塔兰数的先前结果。

ABSTRACT

We introduce "fertility Wilf equivalence," "strong fertility Wilf equivalence," and "postorder Wilf equivalence," three variants of Wilf equivalence for permutation classes that formalize some phenomena that have appeared in the study of West's stack-sorting map. We introduce "sliding operators" and show that they induce useful bijections among sets of valid hook configurations. Combining these maps with natural decompositions of valid hook configurations, we give infinitely many examples of fertility, strong fertility, and postorder Wilf equivalences. As a consequence, we obtain infinitely many joint equidistribution results concerning many permutation statistics. In one very special case, we reprove and extensively generalize a result of Bouvel and Guibert. Another case reproves and generalizes a result of the current author. A separate very special case proves and generalizes a conjecture of the current author concerning stack-sorting preimages and the Boolean-Catalan numbers. We end with two open questions.

研究动机与目标

• 形式化并推广在威斯堆栈排序映射研究中出现的非平凡威斯等价关系。
• 在排列类中引入并分析三种新的等价关系——可育性、强可育性和后序威斯等价。
• 开发组合工具，特别是有效胡克配置上的滑动算子，以构造显式的、类型保持的双射。
• 建立在这些新关系下等价的排列类的无限族，实现排列统计量的联合等分布。
• 重新证明并推广已知结果，包括关于布尔-卡塔兰数和堆栈排序预像的结果。

提出的方法

• 引入作用于有效胡克配置（VHCs）的“滑动算子”，保持其类型，并在VHC集合之间实现双射。
• 利用有效胡克配置的自然分解，将堆栈排序映射的原像结构与排列统计量联系起来。
• 将可育性威斯等价定义为堆栈排序映射 $s$ 下原像集合大小相等。
• 通过预像类的VHC集合之间存在类型保持双射，定义强可育性威斯等价。
• 通过后序遍历下降平面树定义后序威斯等价，将其与堆栈排序映射的动力学联系起来。
• 利用先前工作中关于有效胡克配置的理论，计算可育性并分析原像结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无限多组可育性威斯等价但非强可育性威斯等价的排列类？
• RQ2 后序威斯等价是否严格弱于强可育性威斯等价？
• RQ3 二元后序威斯等价与后序威斯等价是否一致，或是否存在严格包含关系？
• RQ4 能否枚举 $\operatorname{Av}_n(132,3412)$ 的堆栈排序原像，其是否与布尔-卡塔兰数相关？
• RQ5 是否存在一种通用方法，通过结构双射计算任意排列类的可育性？

主要发现

• 本文通过滑动算子和有效胡克配置的分解，构造了无穷多个可育性、强可育性和后序威斯等价的例子。
• 证明了对所有 $n \geq 1$，有 $|s^{-1}(\operatorname{Av}_n(132,3412))| = |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(231,1423))| = |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(312,1342))|$，建立了新的等式链。
• 序列 $\sum_{n \geq 1} |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(132,3412))| x^n$ 的生成函数为 $\frac{1 - 2x - \sqrt{1 - 4x - 4x^2}}{4x}$，即著名的布尔-卡塔兰数。
• 作者提供了一个反例，表明可育性威斯等价不蕴含强可育性威斯等价，从而证明了这些等价关系之间存在严格层级。
• 给出一个反例以证明二元后序威斯等价不蕴含后序威斯等价，确认了这两者之间存在严格层级。
• 本文重新证明并推广了布瓦维尔与吉贝贝尔以及作者早期关于堆栈排序原像和布尔-卡塔兰数的工作。