[논문 리뷰] FieldsX -- An extension package for the xAct tensor computer algebra suite to include fermions, gauge fields and BRST cohomology

Markus B. Fröb|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

FieldsX는 곡면 시공간에서 페르미온, 게이지 장, BRST 코hom로지 처리를 가능하게 하는 Mathematica 패키지로, xAct 텐서 대수 패키지 슈트를 확장한다. $\bar{\theta}\theta$ 유형의 스피너 곱, 군 표현 분해를 통한 Fierz 항등식, 이상 및 게이지 불변 연산자 분석을 위한 BRST 코호몰로지의 자동 계산을 가능하게 하며, $\nabla=1$ 초대칭 양-밀스 이론에서 초대칭성과 등각 대칭성의 기호적 검증을 완료하였다.

ABSTRACT

I present the tensor computer algebra package FieldsX, which extends the xAct suite of tensor algebra packages to perform computations in field theory with fermions and gauge fields. This includes the standard tools of curved-space $γ$ matrices, Fierz identities, invariant tensors on Lie algebras, arbitrary gradings and left and right variational derivatives, as well as the decomposition of spinor products into irreducible components following the approach of d'Auria, Fré, Maina and Regge [Annals Phys. 139 (1982) 93]. Lastly, it also includes functions to work with nilpotent differentials such as the BV-BRST differential for (supersymmetric) gauge theories and to compute their (relative) cohomologies, from which anomalies and gauge-invariant operators can be determined. I illustrate the use of the package with the example of $\mathcal{N}=1$ Super-Yang--Mills theory.

연구 동기 및 목표

• xAct의 곡면 시공간 내 페르미온 및 게이지 장 계산 지원의 격차를 메우기 위해.
• d’Auria–Fré–Maina–Regge 방법에 기반한 스피너 곱의 표현 분해를 통한 Fierz 항등식 다루기의 자동화를 위해.
• 이상 탐지 및 게이지 불변 연산자 식별을 위한 (초)게이지 이론에서의 BRST 코호몰로지 체계적 계산을 가능하게 하기 위해.
• 편미분 이론 및 TeX 출력을 위한 xPert 및 TexAct와의 원활한 통합을 위해.

제안 방법

• 스피너, $\bar{\theta}\theta$ 곱, 게이지 장을 위한 새로운 텐서 유형 도입 및 리 대수의 항등수 상수 포함.
• AChristoffelCD 및 ChristoffelCD 텐서를 통한 곡면에서의 $\nabla$-행렬과 스핀 접속의 구현.
• 스피너 이항형을 추적 항등식을 사용해 불변 표현 성분으로 분해하기 위해 d’Auria–Fré–Maina–Regge 방법 적용.
• 교환자 항등식을 통한 불변 텐서 축소: $f_{abc} \operatorname{tr}(\mathfrak{t}^c \cdots) = \operatorname{tr}([\mathfrak{t}_a,\mathfrak{t}_b]\cdots)$.
• BRST 코호몰로지 추측 생성을 위한 효율적 처리를 위해 Multisets 패키지 통합.
• 좌우 도함수를 갖는 변분 미적분학 지원 및 고유 연산자 `\cdot` 를 통한 비가환 스피너 곱 처리.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 xAct 텐서 대수 시스템은 비가환 스피너 장과 곡면에서의 $\nabla$-행렬을 효율적으로 다룰 수 있는가?
• RQ2 완전한 영형 프로젝터 분해 없이도 군 표현 분해를 통해 스피너 이항형에 대한 Fierz 항등식을 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 곡면 시공간에서 (초)게이지 이론에 대해 BRST 코호몰로지를 알고리즘적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 패키지는 자동으로 작용 변환을 통해 $\nabla=1$ 초대칭 양-밀스 이론의 초대칭성과 등각 대칭성을 검증할 수 있는가?
• RQ5 리 대수의 불변 텐서는 필드 이론 라그랑지안에서 항등수 곱의 간소화에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• FieldsX는 자동으로 작용 변환을 통해 $\nabla=1$ 초대칭 양-밀스 이론의 초대칭성과 등각 대칭성을 성공적으로 검증하였다.
• 패키지는 기본 장과 양자 미분 연산자를 포함한 작용을 계산하여, 운동에너지, 상호작용, 보조 장 항을 포함한 총 12개의 항을 갖는 표준형을 도출하였다.
• 추적 항등식을 통한 항등수 곱의 축소를 자동화하여 명시적 영형 프로젝터 계산을 피함.
• BRST 코호몰로지 기능은 영항성 미분 분석을 통해 이상 및 게이지 불변 연산자를 식별하는 데 기여함.
• xPert를 통한 편미분 계산 및 TexAct를 통한 TeX 출력과의 내재적 통합을 통해 Mathematica에서 완전한 기호 워크플로우를 지원함.
• d’Auria–Fré–Maina–Regge 분해를 통한 스피너 Fierz 항등식의 구현은 전체 불변 표현 분해 없이도 스피너 곱 분해를 정확히 처리할 수 있도록 함.