[논문 리뷰] Finding a Winning Strategy for Wordle is NP-complete

Will Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 08.

Algorithms and Data Compression인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Wordle를 계산적 결정 문제로 공식적으로 정의하고, 주어진 Wordle 인스턴스에 대해 승리 전략이 존재하는지 여부를 판단하는 것이 NP-완전임을 증명한다. 저자들은 최소 지배 집합 문제에서의 축소를 통해 NP-난이도를 확립하고, 전략 트리 데이터 구조를 사용하여 승리 전략을 다항 시간 내에 검증할 수 있음을 보여, NP에 속해 있음을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, we give a formal definition of the popular word-guessing game Wordle. We show that, in general, determining if a given Wordle instance admits a winning strategy is NP-complete. We also show that given a Wordle instance of size $N$, a winning strategy that uses $g$ guesses in the worst case (if any) can be found in time $N^{O(g)}$.

연구 동기 및 목표

• 목표 단어 목록, 허용 가능한 추측, 게임 길이를 포함한 정확한 입력 모델을 포함하여 Wordle를 계산 문제로 공식적으로 정의하는 것.
• 주어진 Wordle 인스턴스에 대해 승리 전략이 존재하는지 여부를 판단하는 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 승리 전략이 존재하는지 여부를 판단하는 문제가 NP-완전임을 입증하여, 잘 알려진 복잡도 클래스에 위치시켜야 하는 것.
• 고정된 게임 길이 g에 대해 최적의 승리 전략을 |WI|^{O(g)} 시간 내에 찾을 수 있음을 보여, g가 상수일 경우 다항 시간이 되는 것.
• 허용 가능한 추측 사전이 암시적으로 정의된 경우(예: 유한 오ート마타를 통해)에도 NP 소속 결과가 유지되는지 확장하는 것.

제안 방법

• 알파벳 Σ, 단어 길이 d, 허용 가능한 추측 사전 D, 가능한 목표 단어 목록 W, 최대 추측 수 g로 구성된 Wordle 인스턴스 WI = (Σ, d, D, W, g)를 정의한다.
• 각각의 글자 위치 일치, 부분 일치, 일치하지 않음 정보를 담은 {0,1,2}^d 길이의 벡터를 반환하는 피드백 오라클 Ω_w(u)를 도입한다. 반복되는 문자에 대한 특수 처리를 포함한다.
• 질의 및 응답의 순서열을 다음 추측으로 매핑하는 결정적 함수로서 전략을 형식화하며, 목표 단어를 g번 이내의 추측으로 식별하는 것으로 성공을 정의한다.
• 각 노드가 하나의 추측에 대응하고, 각 간선이 가능한 피드백 응답에 대응하는 전략 트리로 전략을 표현하며, 깊이가 g 이하가 되도록 한다.
• 최소 지배 집합(MDS) 문제에서 승리 전략 결정 문제로의 축소를 통해 NP-난이도를 증명한다. 그래프로부터 Wordle 인스턴스를 구성하여, 승리 전략이 존재하는 것은 그 그래프에 크기 ≤ K인 지배 집합이 존재하는 것과 동치임을 보인다.
• 전략 트리의 크기가 다항식 크기일 수 있고, 각 노드에서 가능한 목표 단어를 올바르게 필터링하는지 검증할 수 있음을 보여, 전략 트리가 다항 시간 내에 검증 가능하므로 NP에 속함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 Wordle 인스턴스에 대해 승리 전략이 존재하는지 여부를 판단하는 문제는 계산적으로 어렵게 되어 있는가?
• RQ2 승리 전략의 존재는 효율적으로 검증할 수 있으며, NP에 속하는가?
• RQ3 게임 길이 g가 고정되어 있을 때, 최적의 승리 전략을 찾는 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 허용 가능한 추측 집합이 암시적으로 정의된 경우(예: 유한 오르타마타를 통해)에도 NP-완전성 결과가 유지되는가?

주요 결과

• 승리 전략이 존재하는지 여부를 판단하는 결정 문제 WinningStrategy — 주어진 Wordle 인스턴스에 대해 승리 전략이 존재하는지 여부를 판단하는 문제 — 는 NP-완전하다.
• WinningStrategy의 NP-난이도는 최소 지배 집합 문제에서의 축소를 통해 입증되었으며, 이는 Wordle 전략 문제를 해결하는 것이 MDS 문제를 해결하는 것만큼 어렵다는 것을 보여준다.
• 문제가 NP에 속하는 이유는 승리 전략을 다항식 크기의 전략 트리로 표현할 수 있고, 트리의 정당성(각 노드에서 가능한 목표 단어를 올바르게 필터링하는지)을 다항 시간 내에 검증할 수 있기 때문이다.
• 고정된 게임 길이 g를 가진 모든 Wordle 인스턴스에 대해 최적의 승리 전략을 |WI|^{O(g)} 시간 내에 찾을 수 있으며, g가 상수일 경우 이는 다항 시간이 된다.
• NP 소속 결과는 허용 가능한 추측 사전 D가 암시적으로 정의된 일반화된 Wordle 인스턴스(예: 유한 오르타마타로 정의됨)에 대해서도 확장 가능하며, |D|가 입력 크기의 지수함수일지라도 성립한다.
• 이 결과는 Lokshtanov와 Subercaseaux(2022)의 Open Problem 3에서 고려된 더 일반적인 모델에서도 문제의 복잡도가 여전히 NP에 속한다는 것을 확인하며, 그들의 Open Problem 1을 해결한다.