[论文解读] Finite deformations from a heterotic superpotential: holomorphic Chern--Simons and an $L_\infty$ algebra

Anthony Ashmore, Xenia de la Ossa+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 63被引用 8

一句话总结

本文通过杂色超势能推导了Hull–Strominger系统的有限变形，表明模空间由一个推广了全纯Chern–Simons理论的三阶Maurer–Cartan方程控制。超对称区域由一个$L_\infty$代数描述，将复结构、丛和Hermitian模统一到一个单一的上同调框架中，并通过Aeppli上同调与形变映射的像条件，对无质量场进行精细计数。

ABSTRACT

We consider finite deformations of the Hull--Strominger system. Starting from the heterotic superpotential, we identify complex coordinates on the off-shell parameter space. Expanding the superpotential around a supersymmetric vacuum leads to a third-order Maurer--Cartan equation that controls the moduli. The resulting complex effective action generalises that of both Kodaira--Spencer and holomorphic Chern--Simons theory. The supersymmetric locus of this action is described by an $L_3$ algebra.

研究动机与目标

• 推导Hull–Strominger系统在无穷小层次以上的有限阶变形。
• 利用杂色超势能，将复结构、丛和Hermitian模统一到一个有效的作用量中。
• 证明超对称区域由一个$L_3$代数控制，推广了特殊几何与Kodaira–Spencer理论。
• 通过引入形变映射的像条件与Aeppli上同调，对无质量模进行精细计数。

提出的方法

• 对杂色超势能中的场进行形变，并强制要求超势能及其导数为零，以推导有限变形条件。
• 利用超势能的全纯性，推导出控制模空间的三阶Maurer–Cartan方程。
• 通过在超对称真空附近展开超势能，识别出非壳参数空间上的复坐标。
• 将模与上同调群联系起来：$\text{H}^{(0,1)}_{\overline{D}}(\tilde{\mathcal{Q}})$，其中$\tilde{\mathcal{Q}}$通过丛的扩张定义。
• 将Hermitian模刻画为Aeppli上同调$\text{H}^{(0,1)}_{\overline{\partial}}(T^{*(1,0)}X / \partial\text{-exact})$中的元素，该上同调在所考虑的几何下同构于$\text{H}^{(1,1)}_{\overline{\partial}}(X)$。
• 定义映射$\mathcal{H}$与$\mathcal{F}_\alpha$，以确定无质量模的核与像条件，其中$\mathcal{F}_\alpha$编码来自$\text{H}^0(\text{End}V_\mathbb{C})$的规范变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从杂色超势能推导Hull–Strominger系统的有限变形？
• RQ2 描述有限模变形有效作用量的全纯Chern–Simons理论的推广是什么？
• RQ3 模空间的超对称区域如何通过$L_\infty$代数结构编码？
• RQ4 当包含障碍条件与规范对称性条件时，无质量模的精细计数是什么？
• RQ5 Aeppli上同调与形变映射的像条件如何对模的标准Hodge数计数进行精炼？

主要发现

• 有限变形问题由从超势能导出的三阶Maurer–Cartan方程控制，该方程同时推广了Kodaira–Spencer理论与全纯Chern–Simons理论。
• Hull–Strominger系统的模空间由一个$L_3$代数描述，编码了复结构、丛与Hermitian变形的完整结构。
• 无质量模的数量由$|\ker{\cal H}| + |\ker{\cal F}_{\alpha}| + |\operatorname{im}{\cal H} \cap \operatorname{im}{\cal F}_{\alpha}|$给出，其中最后一项反映了混合模。
• Hermitian模的数量由$h^{(1,1)}$给出，但受$\mathcal{F}_\alpha$的像约束，从而从模空间中移除了规范等价方向。
• 在假设$\text{H}^{(0,2)}(X) = 0$下，上同调$\text{H}^{(0,1)}_{\overline{\partial}}(T^{*(1,0)}X / \partial\text{-exact})$同构于$\text{H}^{(1,1)}_{\overline{\partial}}(X)$，验证了标准Hodge数计数。
• 条件$\mathcal{H}(\mu_0) \subseteq \operatorname{im}{\cal F}_\alpha$选取了无质量的复结构模，而$\alpha_0^\text{c} \in \ker{\cal F}_\alpha$选取了无质量的丛模。