[논문 리뷰] Finite Dimensional Intuitionistic Fuzzy Normed Linear Space

T. K. Samanta, Iqbal H. Jebril|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 10.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 2인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 선형 공간에서 직관적 퍼저니스 노름(IFS)의 새로운 정의를 제안하며, 완비성 및 컴팩트성 기준과 같은 기본 성질들을 수립한다. 직관적 퍼저니스 연속성과 순차적 직관적 퍼저니스 연속성이 동치임을 증명하고, 이러한 연속 사상에 의해 컴팩트 집합의 상이 여전히 컴팩트임을 보여준다.

ABSTRACT

Following the definition of intuitionistic fuzzy n-norm [ 3 ], we have introduced the definition of intuitionistic fuzzy norm (in short IFN) over a linear space and there after a few results on intuitionistic fuzzy normed linear space and finite dimensional intuitionistic fuzzy normed linear space. Lastly, we have introduced the definitions of intuitionistic fuzzy continuity and sequentially intuitionistic fuzzy continuity and proved that they are equivalen

연구 동기 및 목표

• 선형 공간 위에서 소속도와 비소속도 정도를 모두 포함하는 퍼저니스 노름을 일반화하는 새로운 직관적 퍼저니스 노름(IFN)을 정의하기.
• 유한차원 직관적 퍼저니스 노름 선형 공간이 완비가 되기 위한 조건을 수립하기.
• 유한차원 직관적 퍼저니스 노름 선형 공간 내의 컴팩트 부분집합을 특성화하기.
• 직관적 퍼저니스 연속성의 정의 및 분석과 함께 순차적 연속성과의 동치성 확인하기.
• 직관적 퍼저니스 연속 사상에 의해 컴팩트 집합의 상이 여전히 컴팩트임을 증명하기.

제안 방법

• 연속적인 t-노름과 t-코노름을 사용하여 벡터 노름의 소속도와 비소속도 정도를 모델링하는 새로운 IFN 구조를 제안한다.
• 선형 공간 $ V $ 위에서 함수 $ N(x,t) $ (소속도)와 $ M(x,t) $ (비소속도)를 통해 IFN을 정의하며, 동차성, 삼각부등식, 극한 행동 등의 공리들을 만족시킨다.
• 다른 척도와 벡터 간의 노름을 비교하기 위해 t-노름과 t-코노름 연산을 적용한다.
• 작은 변동에 대한 강건성을 확보하기 위해 $ \varepsilon $-$ \alpha $-$ \delta $-$ \beta $-기반 정의를 통해 직관적 퍼저니스 연속성을 도입한다.
• 순차 수렴 논증을 활용하여 직관적 퍼저니스 연속성과 순차적 직관적 퍼저니스 연속성 간의 동치성을 증명한다.
• 모든 수열이 IFN 위상에서 수렴하는 부분수열을 가지는 방식으로 컴팩트성을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 직관적 퍼저니스 노름 선형 공간이 완비가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 유한차원 직관적 퍼저니스 노름 선형 공간 내에서 컴팩트성은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 직관적 퍼저니스 연속성과 순차적 직관적 퍼저니스 연속성의 개념은 동치인가?
• RQ4 직관적 퍼저니스 연속 사상에 의해 컴팩트 집합의 상은 여전히 컴팩트한가?
• RQ5 직관적 퍼저니스 노름의 구조는 퍼저니스 내적 구조에서 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 유한차원 직관적 퍼저니스 노름 선형 공간이 완비가 되기 위해서는 기저가 되는 t-노름과 t-코노름이 표준 연속성 및 단조성 공리를 만족해야 한다.
• 유한차원 직관적 퍼저니스 노름 선형 공간의 부분집합이 컴팩트한 것은 그 부분집합 내의 모든 수열이 IFN 위상에서 수렴하는 부분수열을 가지는 것과 동치이다.
• 직관적 퍼저니스 연속성과 순차적 직관적 퍼저니스 연속성은 직관적 퍼저니스 노름 선형 공간 내에서 동치이다.
• 직관적 퍼저니스 연속 사상에 의해 컴팩트 집합의 상은 공도메인 공간 내에서 컴팩트하다.
• 연속성 개념 간의 동치성 증명은 수열 $ \{y_n\} $ 을 구성함으로써 이루어지며, 이때 $ y_n \to x_0 $ 이지만 $ f(y_n) \not\to f(x_0) $ 가 되도록 하여 연속성이 실패할 경우 모순이 발생한다.
• 극한 행동 $ \lim_{t \to \infty} N(x,t) = 1 $ 과 $ \lim_{t \to \infty} M(x,t) = 0 $ 는 노름 구조가 점점 고전적 노름과 유사하게 행동함을 보장한다.