[논문 리뷰] Finite Element Error Estimates for Optimal Control Problems with Pointwise Tracking

Niklas Behringer, Dominik Meidner외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 08.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비용 함수수에 점추적(pointwise tracking) 조건이 포함된 선형-이차 타원 최적제어 문제에 대한 유한요소 해석에 대해 개선된 사전 오차 추정치를 제시한다. 삼각형, 셀 단위로 일정한, 그리고 후처리 기반의 세 가지 제어 이산화 접근법에 대해 최적 수렴 속도(로그 항까지)를 달성하였으며, 특히 두 차원에서 $\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$ 수렴 속도를 증명하여 이전 결과보다 크게 향상시켰다.

ABSTRACT

We consider a linear-quadratic elliptic optimal control problem with point evaluations of the state variable in the cost functional. The state variable is discretized by conforming linear finite elements. For control discretization, three different approaches are considered. The main goal of the paper is to significantly improve known a priori discretization error estimates for this problem. We prove optimal error estimates for cellwise constant control discretizations in two and three space dimensions. Further, in two space dimensions, optimal error estimates for variational discretization and for the post-processing approach are derived.

연구 동기 및 목표

• 비용 함수수에 점추적 조건이 포함된 최적제어 문제에 대해 날카로운 사전 오차 추정치가 부족한 문제를 다루기 위해.
• 특히 세 차원에서의 결과가 열악한 기존의 오차 추정치를 향상시키기 위해.
• 변량, 셀 단위 일정, 후처리를 포함한 세 가지 제어 이산화 전략에 대해 최적 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 점추적 제약 조건 하에서 최적 제어와 양변 상태의 정규성(regularity)을 분석하기 위해.
• 이론적 결과를 수치 실험을 통해 검증하여 2차원에서의 수렴 속도를 확인하고, 3차원으로의 확장 가능성을 제시하기 위해.

제안 방법

• 등각적인 선형 유한요소를 사용한 상태 방정식의 이산화, 준균일 메esh에서의 적용.
• 세 가지 다른 제어 이산화 접근법: 변량(암시적), 셀 단위 일정(명시적), 그리고 이산 양변 상태의 투영을 통한 후처리.
• 비용 함수수에서의 국소 점 평가에 맞춘 가중치 $L^2$-노름 추정치와 보간 오차 경계의 활용.
• 오차 추정 기법과 보조 방정식을 활용하여 제어 변수의 오차를 제한하기 위해.
• 투영 연산자 $P_{[a,b]}$의 리프시츠 연속성을 활용하여 양변 상태의 오차와 제어의 오차를 연결하기 위해.
• 최적 제어가 활성 또는 비활성인 영역으로 도메인을 분할하고 局소 정규성(local regularity)을 활용하여 오차 경계를 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 함수수에 점추적 조건이 포함된 최적제어 문제의 유한요소 이산화에 대해 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 세 차원에서 셀 단위 일정 제어 이산화에 대해 최적 수렴 속도는 무엇이며, $\mathcal{O}(h^{1/2}|\ln h|^2)$를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 후처리 접근법은 두 차원에서 변량 이산화와 동일한 수렴 속도를 달성하는가?
• RQ4 이론적 수렴 속도는 일반적인 준균일 메쉬를 사용하는 세 차원 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ5 계단 메쉬를 사용할 경우, 세 차원에서 이차 수렴(로그 항까지)이 달성 가능한가?

주요 결과

• 두 차원 문제에서는 변량 이산화와 셀 단위 일정 제어의 후처리에 대해 모두 $\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$ 수준의 최적 오차 추정치를 증명하였다.
• 세 차원에서는 셀 단위 일정 제어 이산화에 대해 기존의 오차 추정치 $\mathcal{O}(h^{1/2}|\ln h|^2)$를 $\mathcal{O}(h|\ln h|)$로 향상시켰으며, 이는 현재의 가정 하에서 최적이 된다.
• 두 차원 문제에서 후처리 접근법은 변량 이산화와 동일한 수렴 속도인 $\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$를 달성하였으며, 이는 그 최적성의 확인이다.
• 수치 결과는 두 차원에서 셀 단위 일정 제어 및 후처리 제어에 대해 이론적 수렴 속도를 확인하였다.
• 세 차원에서는 $\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$에 대한 이론적 증명은 제시되지 않았지만, 수치 실험 결과 이 속도가 성립할 가능성이 있음을 시사하여 향후 연구의 잠재적 방향을 제시한다.
• 논문은 상자 제약 조건이 존재하므로 최적 제어가 리프시츠 연속성을 유지함을 보여주었으며, 이는 양변 상태가 제한된 소볼레프 정규성을 가지더라도 여전히 성립한다.