[论文解读] Finite group actions on Lagrangian Floer theory

Cheol‐Hyun Cho, Hansol Hong|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文构建了有限群作用于辛流形和拉格朗日子流形的拉格朗日弗洛尔理论，这些流形配备有相容的群作用。它引入了自旋轮廓——一个位于 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ 中的群上同调类——作为将群作用提升至自旋结构的障碍，并利用它定义了 $s$-等变福卡伊范畴和轨道化福卡伊-塞idel范畴，从而在群作用下实现了更精细的同调镜像对称框架。

ABSTRACT

We construct finite group actions on Lagrangian Floer theory when symplectic manifolds have finite group actions and Lagrangian submanifolds have induced group actions. We first define finite group actions on Novikov-Morse theory. We introduce the notion of a {\em spin profile} as an obstruction class of extending the group action on Lagrangian submanifold to the one on its spin structure, which is a group cohomology class in $H^2(G;\Z/2)$. For a class of Lagrangian submanifolds which have the same spin profiles, we define a finite group action on their Fukaya category. In consequence, we obtain the $s$-equivariant Fukaya category as well as the $s$-orbifolded Fukaya category for each group cohomology class $s$. We also develop a version with $G$-equivariant bundles on Lagrangian submanifolds, and explain how character group of $G$ acts on the theory. As an application, we define an orbifolded Fukaya-Seidel category of a $G$-invariant Lefschetz fibration, and also discuss homological mirror symmetry conjectures with group actions.

研究动机与目标

• 将有限群作用从辛流形和拉格朗日子流形推广至其弗洛尔理论不变量。
• 识别将群作用提升至拉格朗日子流形上自旋结构的障碍，该障碍被编码为 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ 中的上同调类。
• 为具有相同自旋轮廓的拉格朗日子流形构造 $s$-等变福卡伊范畴，推广塞德尔的等变构造。
• 为 $G$-不变的莱夫谢茨纤维化构造 $G$-等变 $A_{\infty}$-结构和轨道化福卡伊-塞idel范畴。
• 通过比较等变 $A$-胚和 $B$-胚，验证 $\mathbb{C}P^2$ 上 $\mathbb{Z}/3$-作用下的同调镜像对称。

提出的方法

• 通过能量零子群和 $G$-作用于诺维科夫覆盖，定义 $G$-诺维科夫理论，构造 $G$-等变弗洛尔复形。
• 将自旋轮廓定义为 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ 中的类，用于度量将群作用提升至拉格朗日子流形上自旋结构的障碍。
• 将 $s$-等变福卡伊范畴构造为福卡伊范畴的 $G$-等变版本，其中 $G$-等变 $A_{\infty}$-运算满足 $m_k(gx_1,\dots,gx_k) = g m_k(x_1,\dots,x_k)$。
• 构造 $G$-等变 $A_{\infty}$-双模，并将 $G$-等变平坦丛纳入拉格朗日子流形中，以丰富范畴结构。
• 为 $G$-不变的莱夫谢茨纤维化定义轨道化福卡伊-塞idel范畴，使用 $G$-等变扰动数据和轨道诺维科夫环。
• 利用群作用的连续性，将正则纤维上的 $G$-作用与奇点纤维上的作用关联，实现在奇点的导出范畴中进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将有限群作用于辛流形和拉格朗日子流形提升至其弗洛尔理论不变量？
• RQ2 将群作用于拉格朗日子流形提升至其自旋结构的障碍是什么，以及它如何被编码？
• RQ3 在给定上同调类 $s \in H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ 的条件下，何时可以定义 $s$-等变福卡伊范畴？
• RQ4 在 $G$-不变的莱夫谢茨纤维化的福卡伊-塞idel范畴上，$G$-作用如何与镜像对称相关联？
• RQ5 在 $\mathbb{C}P^2$ 中，对于 $\mathbb{Z}/3$-不变的 $A$-胚，其弗洛尔上同调的 $G$-不变部分具有何种结构？

主要发现

• 自旋轮廓，即 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ 中的类，是将 $G$-作用于拉格朗日子流形提升至其自旋结构的障碍。
• 对于具有相同自旋轮廓的拉格朗日子流形，可以定义 $s$-等变福卡伊范畴，其 $G$-等变 $A_{\infty}$-运算满足 $m_k(gx_1,\dots,gx_k) = g m_k(x_1,\dots,x_k)$。
• 在 $\mathbb{C}P^2$ 的 $\mathbb{Z}/3$-作用示例中，$HF(T,T)$ 的 $G$-不变部分在度数 0 处秩为 2，在度数 1 处为 0，且无非平凡的 1-形式被保持。
• 奇点的导出范畴 $D^b_{\text{sing}}(W^{-1}(3))$ 允许一个 $\mathbb{Z}/3$-不变对象 $\mathcal{F}$，且 $R\text{Hom}(\mathcal{F},\mathcal{F})$ 的 $\mathbb{Z}/3$-不变偶数度部分秩为 2，奇数度部分为平凡。
• $\mathbb{Z}/3$-作用在 $\mathbb{C}P^2$ 上可提升至福卡伊-塞idel范畴，且具有霍尔尼尼 $(1,1)$ 的 $A$-胚 $T$ 具有与镜像对称相容的 $G$-不变弗洛尔上同调结构。
• 由于 $\mathbb{Z}/3$ 在生成元 $x$ 和 $y$ 上的作用非平凡，$R\text{Hom}^{1}(Ax\oplus Ay,Ax\oplus Ay)$ 的 $G$-不变部分为零。