[论文解读] Finite Horizon Density Control for Static State Feedback Linearizable Systems

Kenneth F. Caluya, Abhishek Halder|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 61被引用 10

一句话总结

本文提出了一种针对静态状态反馈线性化系统的有限时域密度控制框架，利用最优传输和Schrödinger桥理论，将初始联合状态概率密度函数引导至目标密度。该研究建立了最小能量控制器的存在性与唯一性，并提出了可行反馈控制设计的计算算法，通过反馈线性化将Benamou-Brenier最优传输框架推广至非线性系统。

ABSTRACT

We consider the problem of steering the joint state probability density function of a static feedback linearizable control system over finite time horizon. Potential applications include controlling neuronal populations, swarm guidance, and probabilistic motion planning. Our theoretical developments reveal the structure of the minimum energy controller for the same, and can be viewed as a generalization of the Benamou-Brenier theory for dynamic optimal transport. Further analytical results are derived for solving the feasibility problem, i.e., for finding feedback that steers a given joint density function to another in fixed time, subject to the controlled nonlinear dynamics. An algorithm based on the Schrödinger bridge is proposed to approximate a feasible controller; a numerical example is worked out to illustrate the same.

研究动机与目标

• 解决在有限时域内将非线性控制系统的联合状态概率密度函数（PDF）从初始状态引导至目标PDF的问题。
• 通过推导最小能量控制器的结构，将Benamou-Brenier最优传输框架扩展至非线性、反馈线性化系统。
• 解决可行性问题——在反馈线性化动力学下，判断给定目标PDF是否能在有限时间内从初始PDF可达。
• 基于Schrödinger桥构建计算框架，通过引入随机正则化，近似求解可行控制器。

提出的方法

• 将密度控制问题建模为有限时域最优控制问题，以最小化控制输入的期望能量为目标，受控于受控非线性动力学及给定的初始与终端PDF。
• 应用反馈线性化将非线性系统转化为线性控制形式，从而在该线性化系统上应用最优传输理论。
• 最小能量控制器被推导为一个非自治梯度向量场，将Benamou-Brenier解推广至非线性反馈线性化系统。
• 提出一种基于Schrödinger桥的计算算法，通过求解具有给定边缘分布的随机正则化问题，近似可行控制器。
• 在保证势函数的Hessian为正定的条件下，利用反函数定理与变换映射的Jacobian的谱分析，证明了解的存在性与唯一性。
• 针对具有幂零结构的线性时不变系统，推导出状态转移矩阵与可控制性Gramian的显式公式，实现控制器分量的闭式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在静态状态反馈线性化系统中，有限时域密度控制的最小能量控制输入能否被显式表征？
• RQ2 在反馈线性化动力学下，目标联合PDF在何种条件下可从初始PDF在有限时间内达到？
• RQ3 如何将Schrödinger桥框架适配于通过反馈线性化近似非线性系统的可行控制器？
• RQ4 在该线性化系统中，最优控制器的结构形式如何以势函数及其Hessian表示？
• RQ5 可控制性Gramian与状态转移矩阵如何影响密度控制问题的可行性与能量成本？

主要发现

• 证明了反馈线性化系统的最小能量控制器为非自治梯度向量场，将Benamou-Brenier理论推广至非线性系统。
• 在势函数的Hessian为正定且端点PDF远离零的条件下，建立了密度控制问题解的存在性与唯一性。
• 对于具有幂零结构的线性时不变系统，推导出状态转移矩阵与可控制性Gramian的显式闭式表达式，实现控制器的解析计算。
• 证明了从初始状态到终态的变换映射的Jacobian非奇异，确保映射的可逆性，从而保证可行性问题存在唯一解。
• 基于Schrödinger桥的算法成功近似了可行控制器，数值验证表明在低维示例中具有收敛性与可行性。
• 通过利用反馈线性化，该框架将最优传输推广至非线性系统，实现了在非线性动力学下能量最小化且可行的密度整形。