[论文解读] Finite reducibility of maximal infinite dimensional measurable cocycles of complex hyperbolic lattices

Filippo Sarti, Alessio Savini|arXiv (Cornell University)|May 21, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文為測度可疊的胞腔 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ 定義了托萊多不變量，其中 $\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$ 為無扭轉的格，並證明任何最大之此類胞腔皆為有限可約——即其與取值於有限代數子群 $\mathrm{PU}(p, np) \subset \mathrm{PU}(p,\infty)$ 的胞腔同調。此結果將表示理論中的剛性思想延伸至測度可疊胞腔框架，完整完成了對複雙曲格之最大胞腔的特徵化。

ABSTRACT

Given $\Gamma < ext{PU}(n,1)$ a torsion-free lattice and $(X,\mu_X)$ a standard Borel $\Gamma$-space, we introduce the notion of Toledo invariant of a measurable cocycle $\sigma:\Gamma imes X ightarrow ext{PU}(p,\infty)$. Since that invariant has bounded absolute value, it makes sense to speak about maximality. We prove that any maximal measurable cocycle is finitely reducible, that is it admits a cohomologous cocycle with image contained in a copy of $ ext{PU}(p,np)$ inside $ ext{PU}(p,\infty)$, which is a finite algebraic subgroup. Even if we do not provide a real rigidity result in this setting, our statement can be seen as the natural adaption of the results for representations due to Duchesne, Lecureux and Pozzetti. We conclude the paper by completing the analysis of maximal cocycles of complex hyperbolic lattices started in \cite{sarti:savini} with a characterization of their algebraic hull.

研究动机与目标

• 為測度可疊胞腔 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ 定義托萊多不變量，其中 $\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$ 為無扭轉格。
• 建立最大胞腔（以最大托萊多不變量定義者）的有限可約性，即其與取值於有限維代數子群 $\mathrm{PU}(p, np)$ 的胞腔同調。
• 將表示理論中的剛性型結果延伸至複雙曲格背景下之測度可疊胞腔框架。
• 透過分析其在 $\mathrm{PU}(p,\infty)$ 中的代數閉包，完成對最大測度可疊胞腔之代數包絡的分類，並建立於 \cite{sarti:savini} 之先前工作之上。

提出的方法

• 使用有界上同調技術，為測度可疊胞腔 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ 定義托萊多不變量。
• 證明托萊多不變量的有界性，進而容許最大性的概念。
• 利用 $\mathrm{PU}(p,\infty)$ 為 $\mathrm{PU}(p,n)$ 的遞推極限之結構，分析胞腔的像。
• 應用上同調技術，證明最大胞腔與取值於有限維子群 $\mathrm{PU}(p, np)$ 的胞腔同調。
• 利用複雙曲格的幾何性質及其在希洛夫邊界上的作用，控制胞腔的行為。
• 透過分析其在 $\mathrm{PU}(p,\infty)$ 中的代數閉包，完成對最大胞腔代數包絡的特徵化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為測度可疊胞腔 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$（其中 $\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$）有意義地定義托萊多不變量？
• RQ2 所有最大測度可疊胞腔（以最大托萊多不變量定義者）是否皆為有限可約，即與取值於有限維子群 $\mathrm{PU}(p, np)$ 的胞腔同調？
• RQ3 最大測度可疊胞腔的代數包絡與目標群 $\mathrm{PU}(p,\infty)$ 的結構有何關係？
• RQ4 有限可約性結果在多大程度上類比於複雙曲格背景下表示理論中的剛性定理？

主要发现

• 測度可疊胞腔 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ 的托萊多不變量定義良好，且其絕對值有界，容許最大性的概念。
• 任何最大測度可疊胞腔皆與取值於有限代數子群 $\mathrm{PU}(p, np) \subset \mathrm{PU}(p,\infty)$ 的胞腔同調，從而確立有限可約性。
• 有限可約性結果將表示理論中的剛性思想推廣至測度可疊胞腔框架，即使在缺乏完整剛性的情況下亦成立。
• 最大測度可疊胞腔的代數包絡被完整特徵化為包含於有限維子群 $\mathrm{PU}(p, np)$ 中，完成 \cite{sarti:savini} 開始的分析。
• 此結果提供了杜切斯內-盧塞羅-波扎蒂剛性結果在表示理論中之自然類比，並適應至測度可疊胞腔框架。
• 目標群 $\mathrm{PU}(p,\infty)$ 為 $\mathrm{PU}(p,n)$ 的遞推極限之結構，是證明有限可約性的關鍵。