[논문 리뷰] Finite size scaling bounds on many-body localized phase transitions

Anushya Chandran, Chris R. Laumann외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 14.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 1인용 수 66

한 줄 요약

이 논문은 다체 국소화 시스템에서의 고유상태 전이에 대해 일반적인 유한체적 스케일링 한계를 유도하며, $d$ 차원에서 얽힘 엔트로피와 수준 통계 비율이 헤리스 유형의 한계를 따라야 하며 상관 길이 지수 $ ue \geq 2/d$ 를 만족함을 증명한다. 이 결과는 수치적 연구를 제약하며, 작은 체계에서 관측된 한계 위반은 스케일링 가설을 넘어서는 진정한 물리적 현상이 아니라 유한체적 효과에서 기인할 가능성이 높음을 시사한다.

ABSTRACT

Quantum phase transitions are usually observed in ground states of correlated systems. Remarkably, eigenstate phase transitions can also occur at finite energy density in disordered, isolated quantum systems. Such transitions fall outside the framework of statistical mechanics as they involve the breakdown of ergodicity. Here, we consider what general constraints can be imposed on the nature of eigenstate transitions due to the presence of disorder. We derive Harris-type bounds on the finite-size scaling exponents of the mean entanglement entropy and level statistics at the many-body localization phase transition using several different arguments. Our results are at odds with recent small-size numerics, for which we estimate the crossover scales beyond which the Harris bound must hold.

연구 동기 및 목표

• 불규칙한 양자 시스템에서 고유상태 전이의 유한체적 스케일링 행동에 대한 일반적 제약 조건을 수립하기 위해.
• 세부 확률 분포에 대한 가정 없이, 얽힘 엔트로피와 수준 통계 비율의 스케일링 지수에 대한 일반적 한계를 도출하기 위해.
• 최근의 작은 체계 수치 결과와 헤리스 한계 간의 괴리 문제를 해결하기 위해, 한계가 반드시 성립해야 하는 교차 체계 크기 $L^*$ 를 추정하기 위해.
• 특히 표준 불순물 기반 추론이 실패하는 1차원에서의 다체 국소화 시스템에서의 유한체적 스케일링을 해석하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유한체적 스케일링 하에서 유계이자 비음수인 순서파라미터의 평균의 스케일링에 관한 일반 레마를 유도한다.
• 레마를 다체 국소화 전이에서의 평균 얽힘 엔트로피 밀도 $[s]$ 와 평균 수준 통계 비율 $[r]$ 에 적용한다.
• 레마를 사용하여 상관 길이 지수 $ ue$ 가 중심극한정리나 공간적 구조에 대한 가정 없이도 $\geq 2/d$ 를 만족함을 증명한다.
• 헤리스 한계가 위반될 경우 관측된 스케일링 형태가 성립할 수 없는 교차 체계 크기 $L^*$ 를 추정한다.
• 수치적 연구에서 상자형 불순물 분포를 정규분포로 대체하여 $L^*$ 를 추정하며, 이로 인해 $L^* \approx 500-5000$ 을 도출한다.
• 이를 통해 고차누적량(예: 얽힘 엔트로피의 분산 등)과 국소화 상에서의 전이에 대해서도 이론을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중앙극한정리나 공간적 구조에 대한 가정 없이도 고유상태 전이에 대해 일반적인 유한체적 스케일링 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ2 최근의 작은 체계 수치 결과에서 왜 헤리스 한계 $ ue \geq 2/d$ 를 위반하는 스케일링 지수를 보고하는가?
• RQ3 관측된 스케일링 형태가 헤리스 한계와 일치하지 않게 되는 최소 체계 크기 $L^*$ 는 얼마인가?
• RQ4 동일한 스케일링 한계가 공간적 순서파라미터가 아닌, 수준 통계 비율 $[r]$ 과 같은 비공간적 순서파라미터에도 적용 가능한가?
• RQ5 이러한 한계는 체계적 실공간 리노멀화 그룹 연구와 1차 전이 시나리오에 어떻게 제약을 가하는가?

주요 결과

• 다체 국소화에서 열적 상태(ETH)로의 전이에서 상관 길이 지수 $ ue$ 는 어떤 공간 차원 $d$ 에 대해서도 $ ue \geq 2/d$ 를 만족하며, 중심극한정리에 대한 가정 없이 도출된다.
• 이 한계는 1차원에서 표준 불순물 기반 추론이 실패하는 상황에서도 평균 얽힘 엔트로피 밀도 $[s]$ 와 평균 수준 통계 비율 $[r]$ 에 대해 일반적으로 적용된다.
• 작은 체계($L \lesssim 500$)에서 관측된 헤리스 한계 위반은 유한체적 효과에서 기인할 가능성이 크며, 이에 대한 교차 체계 크기 $L^* \approx 500-5000$ 를 초과하면 한계가 반드시 성립해야 한다.
• 이 유도된 한계는 불순물 분포의 선택에 대해 강건하며, 얽힘 엔트로피의 분산과 같은 고차누적량에도 적용된다.
• 1차 전이의 경우에도 이 한계는 성립하며, 이 경우에도 유한체적 스케일링 길이가 여전히 $ ue \geq 2/d$ 를 만족한다.
• 이 결과는 체계적 모델과 수치적 연구에 엄밀한 제약 조건을 제공하며, 작은 체계에서 관측된 스케일링 지수는 체계 크기가 증가함에 따라 한계에 수렴할 가능성이 높다는 것을 시사한다.