[논문 리뷰] Finiteness theorems for commuting and semiconjugate rational functions

Fedor Pakovich|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 16.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고정된 두 이상의 차수를 가진 유리 함수 $B$에 대해, 반공호 방정식 $A \circ X = X \circ B$를 만족하는 유리 함수 $A$와 $X$에 대한 유한성 정리들을 수립한다. $B$가 라티스 지도이거나 $z^{\pm d}$ 또는 $\pm T_d$와 동형이 아니면, 모비우스 변환과 $B$의 반복에 관해 유한한 해의 수가 존재하며, 이 수와 해의 차수는 $\deg B$에만 의존하는 상한을 가진다. 이는 리트의 동형 유리 함수에 관한 고전 정리의 효과적 버전을 제공한다.

ABSTRACT

Let $B$ be a fixed rational function of one complex variable of degree at least two. In this paper, we study solutions of the functional equation $A\circ X=X\circ B$ in rational functions $A$ and $X$. Our main result states that, unless $B$ is a Lattès map or is conjugate to $z^{\pm d}$ or $\pm T_d$, the set of solutions is finite, up to some natural transformations. In more detail, we show that there exist finitely many rational functions $A_1, A_2,\dots, A_r$ and $X_1, X_2,\dots, X_r$ such that the equality $A\circ X=X\circ B$ holds if and only if there exists a Möbius transformation $μ$ such that $A=μ\circ A_j\circ μ^{-1}$ and $X=μ\circ X_j\circ B^{\circ k}$ for some $j,$ $1\leq j \leq r,$ and $k\geq 1$. We also show that the number $r$ and the degrees $°X_j,$ $1\leq j \leq r,$ can be bounded from above in terms of the degree of $B$ only. As an application, we prove an effective version of the classical theorem of Ritt about commuting rational functions.

연구 동기 및 목표

• 고정된 두 이상의 차수를 가진 유리 함수 $B$에 대해, 함수 방정식 $A \circ X = X \circ B$를 만족하는 모든 유리 함수 해 $A$와 $X$를 분류하는 것.
• 이러한 해의 집합이 모비우스 변환과 $B$의 반복에 관해 유한한지 여부를 판단하는 것.
• 해의 수와 그 차수에 대한 효과적이고 계산 가능한 상한을 $\deg B$에만 의존하도록 제공하는 것.
• 리트의 고전적인 동형 유리 함수에 관한 정리를 확장하여, 비특수 $B$에 대해 반복 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$에 대한 효과적 상한을 증명하는 것.

제안 방법

• 논문은 오비폴드 이론과 오비폴드 사이의 최소 헬름홀로픽 매핑 이론을 사용하여 $A \circ X = X \circ B$의 해의 구조를 분석한다.
• Lüroth 정리를 활용하여 $X$와 $B$를 공통의 유리 함수를 통해 인수분해함으로써, 문제를 차수를 낮추는 반복 과정을 통해 기본 해로 축소한다.
• 특히 오비폴드의 오일러 지표가 0인 유리 함수의 분류 결과를 활용하여, $A$, $X$, $B$의 가능한 형태를 제약한다.
• 비특수 $B$에 대해, 모비우스 변환과 $B$의 반복에 관해 해의 수가 유한하며, 이 수와 해의 차수는 $\deg B$에만 의존하는 상한을 제공한다.
• 특수하지 않은 $B$에 대해, 임의의 동형 쌍 $X$와 $B$는 어떤 $l,k \geq 1$에 대해 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$를 만족하며, 이에 대한 계산 가능한 상한 $\delta(d)$가 존재하여 $l \leq \delta(d)$가 되도록 한다.
• 특수한 $B$의 경우, 임의의 동형 $X$는 $B$와 같은 오비폴드 구조를 유지하며, $X:\mathcal{O} \to \mathcal{O}$는 오일러 지표가 0인 오비폴드 사이의 코버링 맵이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 두 이상의 차수를 가진 유리 함수 $B$에 대해, 모비우스 변환과 $B$의 반복에 관해 $A \circ X = X \circ B$를 만족하는 유리 함수 $A$와 $X$는 얼마나 존재하는가?
• RQ2 이러한 해의 수는 $\deg B$에만 의존하는 상한으로 유계일 수 있는가? 만약 그렇다면, 그 상한의 성격은 어떠한가?
• RQ3 언제 $B$에 대해 방정식 $A \circ X = X \circ B$의 해가 자연스러운 동치 관계에 대해 유한한가?
• RQ4 리트의 고전적인 동형 유리 함수에 관한 정리는 반복 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$에 대한 계산 가능한 상한을 제공하는 효과적 버전을 허용하는가?
• RQ5 특수한 $B$인 라티스, $z^{\pm d}$, 또는 $\pm T_d$일 경우, 임의의 동형 $X$는 반드시 $B$와 같은 오비폴드 구조를 유지하는가?

주요 결과

• 두 이상의 차수를 가진 비특수 유리 함수 $B$에 대해, $A \circ X = X \circ B$를 만족하는 해 $(A,X)$의 집합은 모비우스 변환과 $B$의 반복에 관해 유한하다.
• 모든 해는 어떤 모비우스 변환 $\mu$, 인덱스 $j$, 및 $k \geq 1$에 대해 $A = \mu \circ A_j \circ \mu^{-1}$ 및 $X = \mu \circ X_j \circ B^{\circ k}$의 형태로 표현되며, 이에 대응하는 유리 함수 $A_1, \dots, A_r$과 $X_1, \dots, X_r$이 유한히 존재한다. 여기서 $r$과 $\deg X_j$는 모두 $\deg B$에만 의존하는 상한으로 유계이다.
• 기본 해의 수 $r$과 각 $\deg X_j$는 $\deg B$에만 의존하는 함수에 의해 일관되게 상한이 주어진다.
• 특수하지 않은 $B$에 대해, 임의의 동형 쌍 $X$와 $B$는 어떤 $l,k \geq 1$에 대해 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$를 만족하며, $\deg B = d$일 때 $l \leq \delta(d)$를 만족하는 계산 가능한 함수 $\delta(d)$가 존재한다.
• 특수한 $B$의 경우, 임의의 동형 $X$는 $B$와 같은 오비폴드 구조를 유지하며, $X:\mathcal{O} \to \mathcal{O}$는 오일러 지표가 0인 오비폴드 사이의 코버링 맵이다.
• 증명 과정에서 $\mu \circ X$가 $B$와 교환 가능하게 하는 모비우스 변환 $\mu$의 수가 유한함을 보여, 자연스러운 동치 관계에 대해 해의 수가 유한함을 암시한다.