[논문 리뷰] First order gravity: Actions, topological terms and boundaries

Alejandro Corichi, Iraís Rubalcava-García외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 30.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 4차원에서 테트라드와 SO(3,1) 접속 변수를 사용하여 중력의 종합적인 1차 형식을 개발하며, 공변 해밀토니안 프레임워크 내에서 모든 미분형식 불변 항—표준, 위상수학적, 경계—를 체계적으로 분석한다. 이는 경계항과 위상수학적 항이 해밀토니안 양자수나 해밀토니안 전하에 영향을 주지 않지만 노이터 전하에 영향을 준다는 것을 보여주며, 중력의 작용 원리와 경계 조건에 관한 오랫동안 떠도는 애매함을 명확히 한다.

ABSTRACT

We consider first order gravity in four dimensions. In particular, we consider formulations where the fundamental variables are a tetrad $e$ and a SO(3,1) connection $\omega$. We study the most general action principle compatible with diffeomorphism invariance. This implies, in particular, considering besides the standard Einstein-Hilbert-Palatini term, other terms that either do not change the equations of motion, or are topological in nature. Having a well defined action principle also implies adding additional boundary terms, whose detailed form may depend on the particular boundary conditions at hand. We consider spacetimes that include a boundary at infinity, satisfying asymptotically flat boundary conditions and/or an internal boundary satisfying isolated horizons boundary conditions. For our analysis we employ the covariant Hamiltonian formalism where the phase space $\Gamma$ is given by solutions to the equation of motion. For each of the possible terms contributing to the action we study the well posedness of the action, its finiteness, the contribution to the symplectic structure, and the Hamiltonian and Noether charges. We show that for the chosen boundary conditions, standard boundary terms warrant a well posed theory. Furthermore, we show that the boundary and topological terms do not contribute to the symplectic structure, nor the Hamiltonian conserved charges. The Noether conserved charges, on the other hand, do depend on such additional terms. The aim of the paper is to present a comprehensive and self-contained treatment of the subject, so the style is somewhat pedagogical. Furthermore, we point out and clarify some issues that have not been clearly understood in the literature.

연구 동기 및 목표

• 4차원에서의 1차 중력 작용에 대한 자가 포함된 종합적 처리를 제공함.
• 특히 점점 평탄한 시공간과 고립된 시공간 경계 조건 하에서, 경계항과 위상수학적 항의 역할을 명확히 함.
• 공변 해밀토니안 형식을 사용하여 다양한 경계 조건 하에서 작용의 잘 정의됨과 유한성을 확립함.
• 해밀토니안 양자수와 노이터 양자수에 영향을 주는 추가 항들이 해밀토니안 공간의 해에 어떻게 영향을 주는지 조사함.
• 문헌에서 위상수학적 및 경계항이 중력에서 보존된 양에 기여하는 방식에 대한 애매함을 해결함.

제안 방법

• 해밀토니안 공간 Γ가 운동 방정식의 해로 구성되는 공변 해밀토니안 형식을 사용하여 작용과 그 변동을 분석함.
• 모든 가능한 미분형식 불변 항을 작용에 포함시키는 체계적 접근: 표준 아인슈타인-힐버트-팔라틴 항, 위상수학적 항(예: 폰트리아진 및 오일러 클래스), 경계항.
• 점점 평탄한 시공간 조건과 고립된 시공간 경계 조건 하에서 작용의 유한성과 잘 정의됨을 분석함.
• 각 항에 대해 심플렉틱 구조, 해밀토니안 보존 전하, 노이터 전하를 계산하여 물리적 기여를 결정함.
• 공변 위상공간 방법을 사용하여 보존 전하를 계산하고, 미분형식 불변성과 경계 조건과의 일관성을 검증함.
• 명시적 변분 해석 기반으로 경계항과 위상수학적 항이 심플렉틱 구조에 기여하지 않으며(기여 없음), 노이터 전하에 기여함(기여 있음)을 구분함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동 방정식을 변화시키지 않거나 미분형식 불변성을 위반하지 않도록 1차 중력 작용에 추가할 수 있는 항은 무엇인가?
• RQ2 점점 평탄한 시공간과 고립된 시공간 경계 조건 하에서 경계항은 작용의 잘 정의됨과 유한성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 위상수학적 항과 경계항은 1차 중력에서 위상공간의 심플렉틱 구조에 기여하는가?
• RQ4 이러한 추가 항들은 해밀토니안과 노이터 보존 전하에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 경계항은 1차 중력에서 잘 정의된 변분 원리 보장에 있어 정확히 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 표준 경계항(예: 점점 평탄한 시공간 또는 고립된 시공간에 필요한 항들)의 포함은 잘 정의되고 유한한 작용 원리 보장함.
• 위상수학적 항(예: 폰트리아진 및 오일러 항)과 경계항은 위상공간의 심플렉틱 구조에 기여하지 않음.
• 해밀토니안 보존 전하는 경계항과 위상수학적 항의 추가로 인해 영향을 받지 않음.
• 노이터 보존 전하는 그러나 경계항과 위상수학적 항의 존재에 따라 달라지며, 이는 작용의 총 구조에 대한 비선형적 의존성을 강조함.
• 이 분석은 문헌에서 오랫동안 애매하게 여겨졌던 이러한 항들이 보존된 양과 작용 원리에 기여하는 방식을 명확히 함.
• 공변 해밀토니안 형식은 다양한 항들의 물리적 관측량에 대한 기여를 분리하는 일관된 프레임워크를 제공함.