[论文解读] Fixed-point algebras for proper actions and crossed products by homogeneous spaces

Astrid an Huef, S. Kaliszewski+2 more|ArXiv.org|Jul 3, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文在适当作用与齐次空间的背景下，为Rieffel的Morita等价性（在交叉积与固定点代数之间）建立了自然的函子框架。它利用Rieffel理论中的双模，构造了一个自然的、可交换的固定点代数与Morita等价图，证明了关于齐次空间G/H上共作用的交叉积的分阶段诱导定理。

ABSTRACT

We consider a fixed free and proper action of a locally compact group $G$ on a space $T$, and actions $α:G o \Aut A$ on $C^*$-algebras for which there is an equivariant embedding of $(C_0(T), t)$ in $(M(A),α)$. A recent theorem of Rieffel implies that $α$ is proper and saturated with respect to the subalgebra $C_0(T)AC_0(T)$ of $A$, so that his general theory of proper actions gives a Morita equivalence between $A times_{α,r}G$ and a generalised fixed-point algebra $A^α$. Here we investigate the functor $(A,α)\mapsto A^α$ and the naturality of Rieffel's Morita equivalence, focusing in particular on the relationship between the different functors associated to subgroups and quotients. We then use the results to study induced representations for crossed products by coactions of homogeneous spaces $G/H$ of $G$, which were previously shown by an Huef and Raeburn to be fixed-point algebras for the dual action of $H$ on the crossed product by $G$.

研究动机与目标

• 在适当作用的背景下，研究Rieffel的Morita等价性（在约化交叉积与广义固定点代数之间）的自然性与函子性。
• 将理论扩展至齐次空间G/H的共作用交叉积，特别关注子群包含下固定点代数的结构。
• 利用Rieffel等价性中的双模，为齐次空间交叉积的表示构造系统化的诱导过程。
• 建立一个包含固定点代数与Morita等价的可交换图，以实现嵌套子群H ⊂ K ⊂ L的分阶段诱导。
• 为理解固定点代数背景下Green诱导与限制映射之间的对偶性，提供一个范畴框架。

提出的方法

• 使用与局部紧群G在空间T上的自由且适当作用相关的半箭头范畴，来建模三元组(A, α, φ)的范畴，其中φ: C₀(T) → M(A)为等变嵌入。
• 应用Rieffel的适当且饱和作用理论，证明约化交叉积A ⋊ᵣ,α G与广义固定点代数A^α ⊆ M(A)之间存在Morita等价，且存在一个规范的不变稠密子代数φ(C_c(T))Aφ(C_c(T))。
• 构造函子Fix: (A, α, φ) ↦ A^α，并通过Rieffel的双模证明其自然性，表明Morita等价是在适当范畴中的自然同构。
• 将一般框架应用于(T, G) = (G, H)的情形，其中H ⊆ G为闭子群，将固定点代数识别为齐次空间G/H的交叉积。
• 利用实现Rieffel等价性的双模，定义齐次空间G/H的共作用交叉积表示的诱导过程。
• 通过严格连续扩张与乘子代数的同构，证明涉及多个固定点代数与包含映射的关键图的可交换性，从而确立分阶段诱导性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当作用的背景下，如何使Rieffel的交叉积与固定点代数之间的Morita等价性具有自然性与函子性？
• RQ2 固定点代数与齐次空间G/H的共作用交叉积的诱导表示之间有何关系？
• RQ3 能否利用Rieffel理论中的双模，为齐次空间G/H的共作用交叉积表示建立分阶段诱导定理？
• RQ4 嵌套子群H ⊂ K ⊂ L所关联的固定点代数在包含与限制映射下如何相互作用？
• RQ5 固定点代数与Morita等价的图是否可交换？它是否编码了分阶段诱导性质？

主要发现

• A ⋊ᵣ,α G与广义固定点代数A^α之间的Morita等价性，是三元组(A, α, φ)范畴中的自然同构，由双模Z(A, α, φ)实现。
• 固定点代数A^α被自然地嵌入M(A)，且该包含映射是严格连续的，从而可将同构扩张至乘子代数。
• 对于B上的G共作用δ与闭子群H，B ⋊_δ G上H的对偶作用的固定点代数同构于B ⋊_δ (G/H)，将Mansfield的施瓦茨定理推广至任意闭子群。
• 齐次空间交叉积表示的诱导过程通过实现Rieffel等价性的双模实现，且满足分阶段诱导性质。
• 构造了一个包含多个固定点代数与包含映射的可交换图，其中上路径、右路径与下路径分别对应双模Z_{G/K}^{G/H}(B, δ)、Z_{G/L}^{G/K}(B, δ)与Z_{G/L}^{G/H}(B, δ)。
• 通过证明沿上路径与下路径的映射复合是同一同态的严格连续扩张，从而证明了图的可交换性。