[논문 리뷰] Fixed Point Theorems and applications in Theory of Games

Monica Patriche|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 27.

Economic theories and models참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 위상벡터공간에서 약한 *-볼록성과 약한 자연스러운 준볼록성에 기반한 대응관계를 도입하고, 이에 대해 고정점 정리와 연속 선택 정리를 증명한다. 이는 연속성 가정 없이 추상 경제에서의 균형 존재성을 보장하는 새로운 결과를 수립하며, 연속 선택과 제약 조건 대응관계의 e-WNQS 성질에 기반한 기법을 사용한다.

ABSTRACT

We introduce the notions of weakly *-concave and weakly naturally quasi-concave correspondence and prove fixed point theorems and continuous selection theorems for these kind of correspondences. As applications in the game theory, by using a tehnique based on a continuous selection, we establish new existence results for the equilibrium of the abstract economies. The constraint correspondences are weakly naturally quasi-concave. We show that the equilibrium exists without continuity assumptions.

연구 동기 및 목표

• 위상벡터공간에서 약한 *-볼록성과 약한 자연스러운 준볼록성 대응관계를 도입하고 분석하기.
• 이러한 대응관계에 대해 고정점 정리와 연속 선택 정리를 수립하기.
• 이러한 결과를 활용하여 이전 연구보다 더 약한 조건 하에서 추상 경제에서의 균형 존재성을 증명하기.
• 균형 존재 정리에서 제약 조건 대응관계의 연속성 요구 조건을 제거하기.
• 게임이론적 응용에서 비볼록성 및 비콤팩트 조건으로도 기존의 선택 및 고정점 이론을 확장하기.

제안 방법

• 벡터 값을 갖는 함수와 지정된 볼록 코너를 사용하여 약한 *-볼록성과 약한 자연스러운 준볼록성 대응관계를 정의하기.
• 콤팩트 집합 위에서 대응관계에 대해 e-WNQS(에프실론-약한 자연스러운 준볼록성) 성질을 도입하기.
• Michael의 선택 정리와 상부 반연속성을 사용하여 변형된 대응관계에 대해 연속 선택을 구성하기.
• 연속 선택과 닫힘 연산을 사용하여 콤팩트 볼록 집합 X 위에 다중값 함수 $ T^V $를 구성하기.
• 각 $ V \in \prod \ss_i $에 대해 $ T^V $에 대해 Fan의 고정점 정리를 적용하여 고정점 $ \overline{x}_V \in T^V(\overline{x}_V) $를 확보하기.
• 닫힌 집합 $ Q_V $의 유한 교차 성질을 사용하여 $ \bigcap Q_V \neq \emptyset $임을 보이고, 이로부터 균형점이 존재함을 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속성이나 볼록값을 갖지 않는 대응관계에 대해서도 고정점 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 비연속적이며 비볼록값을 갖는 대응관계에 대해 연속 선택이 존재할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제약 조건 대응관계의 연속성을 가정하지 않고도 추상 경제에서의 균형 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 e-WNQS 성질이 비콤파クト 또는 비볼록 조건에서 균형 존재성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 연속 선택 기법을 어떻게 확장하여 약한 볼록성 유사 제약 조건을 갖는 추상 경제에서의 균형 존재성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 약한 자연스러운 준볼록성과 e-WNQS 성질을 갖는 새로운 대응관계의 클래스는 연속성 가정 없이도 고정점 정리를 가능하게 한다.
• e-WNQS 성질을 갖는 대응관계에 대해서는 값이 볼록이 아니거나 대응관계가 연속적이지 않더라도 연속 선택이 존재한다.
• 제약 조건 대응관계가 e-WNQS 성질을 만족할 경우, 연속성 조건 없이도 추상 경제의 균형이 존재한다.
• 고정점 $ \overline{x}_V \in T^V(\overline{x}_V) $는 연속 선택과 Fan의 고정점 정리를 통해 구성된다.
• 교차 $ \bigcap Q_V \neq \emptyset $는 $ \overline{x} \in X $가 존재함을 보장하며, 이때 $ \overline{x}_i \in \overline{B}_i(\overline{x}) $ 이고 $ (A_i \cap P_i)(\overline{x}) = \emptyset $ 를 만족하여 균형을 정의한다.
• 이 결과는 제약 조건 대응관계의 연속성과 볼록성 조건을 제거함으로써 이전의 균형 존재 정리들을 일반화한다.