[논문 리뷰] Fixed points of Legendre-Fenchel type transforms

Alfredo N. Iusem, Daniel Reem외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 25.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실 힐버트 공간에서 레지온드르-펜치엘 유형 변환을 포함하는 고정점 방정식을 조사하며, $ f(x) = \tau f^*(Ex + c) + \langle w,x\rangle + \beta $의 해를 특성화한다. 해 집합은 매개변수에 매우 민감하며, 해가 존재하지 않을 수도, 유일한 해가 존재할 수도, 무한히 많은 해가 존재할 수도 있으며, 이는 이차형과 비이차형 모두 포함된다.

ABSTRACT

A recent result characterizes the fully order reversing operators acting on the class of lower semicontinuous proper convex functions in a real Banach space as certain linear deformations of the Legendre-Fenchel transform. Motivated by the Hilbert space version of this result and by the well-known result saying that this convex conjugation transform has a unique fixed point (namely, the normalized energy function), we investigate the fixed point equation in which the involved operator is fully order reversing and acts on the above-mentioned class of functions. It turns out that this nonlinear equation is very sensitive to the involved parameters and can have no solution, a unique solution, or several (possibly infinitely many) ones. Our analysis yields a few by-products, such as results related to positive definite operators, and to functional equations and inclusions involving monotone operators.

연구 동기 및 목표

• 실 힐버트 공간 내 하부연속임의의 적절한 볼록 함수에 대해 고정점 방정식 $ f(x) = \tau f^*(Ex + c) + \langle w,x\rangle + \beta $의 해를 특성화하는 것.
• 기존의 정규화된 에너지 함수가 표준 레지온드르-펜치엘 변환의 고정점으로서의 유일성을 더 넓은 범주로 확장하는 것.
• 특히 $ E $가 정규행렬이 아닐 경우에 매개변수 $ \tau, E, c, w, \beta $의 변화에 따른 해의 행동을 분석하는 것.
• 완전 레지온드르 함수 및 단조 연산자 이론과의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 이 방정식이 고유한 해, 다수의 해, 또는 해가 존재하지 않을 조건을 특정하는 것, 비이차형 해를 포함하여.

제안 방법

• 힐버트 공간에서의 볼록 쌍대성 및 레지온드르-펜치엘 쌍대성에 기반한 고정점 방정식의 형식적 분석.
• 레지온드르-펜치엘 변환의 선형 변형으로서의 완전 순서 반전 연산자의 특성화를 적용하는 것.
• 함수 방정식과 쌍대성 이론을 활용하여 해에 대한 필요 및 충분 조건을 도출하는 것.
• 완전 레지온드르 함수에 대한 기존 결과를 활용하여, 미분 가능한 해에 대해 미분-함수 방정식을 유도하는 것.
• 직합 분해 및 쌍대 공식을 통한 직접적 구성 방법을 활용하여 다수의 해를 생성하는 것.
• 양의 정부호 연산자에 대한 구조적 결과와 그 엄밀한 볼록성 및 가역성에 대한 영향을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정점 방정식 $ f(x) = \tau f^*(Ex + c) + \langle w,x\rangle + \beta $이 하부연속임의의 적절한 볼록 함수의 클래스에서 해를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이 방정식은 두 개 이상의 해를 가질 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 매개변수 조합에서 그러한 해가 존재하는가?
• RQ3 E가 정규행렬일 경우 해가 유일한가? 이는 기존의 정규화된 에너지 함수의 고정점로서의 유일성 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 비이차형 해의 구조는 어떠한가? 그리고 이를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 f와 그 쌍대함수의 미분 가능성은 이 방정식의 해 존재성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 고정점 방정식은 매개변수 $ \tau, E, c, w, \beta $에 따라 해가 존재하지 않을 수도, 유일한 해가 존재할 수도, 무한히 많은 해가 존재할 수도 있다.
• E가 정규행렬일 경우, 식 (3.1)의 계수로 정의된 이차함수는 해가 되지만, 해의 유일성은 보장되지 않는다.
• 무한히 많은 이차해가 존재하는 예시가 존재하며, 이는 예제 13.1에서 보여졌고, 비이차형 해는 예제 13.2에서 제시되었다.
• 정규화된 에너지 함수 $ f(x) = \frac{1}{2}\|x\|^2 $는 $ f = f^* $의 유일한 해이며, 이는 더 넓은 맥락에서 기존 결과를 확인한다.
• f가 완전 레지온드르 함수(즉, 볼록이며, 하부연속이고, f와 f^*가 모두 게이트외 미분 가능함)이면, 식 (15.1)의 미분-함수 방정식을 만족하며, 이는 미분 가능성과 해 존재성 간의 연관성을 연결한다.
• 만약 $ f(x) = \frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle $가 $ f^*(Ax) = f(x) $를 만족하면, 레미마 7.5와 레미마 4.2를 통해 A는 양의 정부호여야 한다.