[논문 리뷰] Flat connections and (co)modules

Tomasz Brzeziński|ArXiv.org|2006. 08. 07.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비가환 미분기하학에서 엔트윙잉 구조로부터 구성된 코링에 대한 코모듈과 평탄한 접속 사이의 일반적 대응을 수립한다. $C$-링을 통한 반-예터-드린펠드 및 예터-드린펠드 모듈을 평탄한 접속을 갖춘 코모듈로 해석함으로써, 히프-사이클릭 코homology 모듈을 하나의 프레임워크로 통합하며, 이는 이전 결과를 더 넓은 대수적 설정으로 확장하고 반무한 코homology에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The relationship between comodules of a coring and flat connections is reviewed. In particular we specialise to corings which are built on a tensor product of algebra and a coalgebra. Such corings are in one-to-one correspondence with entwining structures, and their comodules are entwined modules. These include Yetter-Drinfeld and anti-Yetter-Drinfeld modules and their generalisations, hence all the modules of interest to Hopf-cyclic cohomology. In this way the interpretation of the latter as modules with flat connections [A Kaygun and M Khalkhali, Hopf modules and noncommutative differential geometry, Lett. Math. Phys. 76 (2006), 77--91] is obtained as a corollary of a more general theory. We also introduce the notions of a connection in a comodule and of a bicomodule connection, and show how comodules with flat connections can be interpreted as modules of a C-ring. In this way all the above mentioned Hopf modules can be interpreted as comodules with flat connections.

연구 동기 및 목표

• 히프-유형 모듈(예를 들어 예터-드린펠드 및 반-예터-드린펠드 모듈)을 평탄한 접속을 갖춘 코모듈로 해석하는 것을 통합하는 것.
• 코링과 $C$-링을 사용하여 비가환 기하학에서 평탄한 접속과 모듈 사이의 관계를 일반화하는 것.
• 코모듈과 바이코모듈에서 접속을 도입함으로써 이중적 시각을 제공하고, 기존 결과를 코알제브라적 프레임워크로 확장하는 것.
• 엔트윙드 모듈(히프-사이클릭 코homology에 관련된 것 포함)이 $C$-링을 통한 코모듈로서 평탄한 접속을 자연스럽게 유도한다는 것을 보여주는 것.
• 이 프레임워크를 반무한 코homology와 연결하여, $C$-링이 이러한 코homological 이론에 대한 자연스러운 대수적 언어임을 보여주는 것.

제안 방법

• 알제브라 $A$와 코알제브라 $C$로부터 코링 $\mathcal{C} = A \otimes C$를 구성하며, 공승수 $\Delta_{\mathcal{C}}(a \otimes c) = a \otimes 1 \otimes c$와 코단위 $\varepsilon_{\mathcal{C}}(a \otimes c) = \mu(a \otimes c)$를 갖추어 $A$-코링을 형성한다.
• 로이터의 정리를 사용하여 군형원을 갖는 코링과 반자유 미분적 가환대수 $\Omega A = T_A(\Omega^1 A)$ 사이의 일대일 대응을 확립한다.
• 우측 코작용 $\varrho^M: M \to M \otimes_A \mathcal{C}$에서 유도된 평탄한 접속 $\nabla: M \to M \otimes_A \mathcal{C}$를 통한 코모듈에서의 접속 개념을 도입한다.
• $C$-링 $\mathcal{A} = C \otimes A$의 곱과 항등원을 정의하여, 엔트윙드 모듈이 오른쪽 $\mathcal{A}$-모듈과 동형임을 보여준다.
• $\overline{\mathcal{A}} = C \otimes \overline{A}$에 대한 코드라이버티브 $\lambda$를 적용하며, 여기서 $\overline{A} = A/k1$이며, 특성 $\kappa = \varepsilon \otimes \chi$를 통해 평탄한 접속을 정의한다.
• 반-예터-드린펠드 모듈로 특수화하기 위해 $\mathcal{A}_{aYD} = H \otimes H$로 놓고 $\kappa = \varepsilon \otimes \varepsilon$로 둔다. 이때 접속의 명시적 형태로 $\nabla(m \otimes \overline{a}) = ma - m\varepsilon(a)$를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔트윙드 모듈(예를 들어 예터-드린펠드 및 반-예터-드린펠드 모듈 포함)은 어떻게 평탄한 접속을 갖춘 코모듈로 체계적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 $C$-링이 코모듈에서 평탄한 접속을 위한 이중 대수적 프레임워크를 어떻게 제공하는가?
• RQ3 평탄한 접속과 코모듈 사이의 대응은 히프 대수를 초월해 엔트윙잉 구조로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 $\overline{\mathcal{A}}$에서의 코드라이버티브는 히프-사이클릭 코homology의 알려진 예를 통합할 수 있는 방식으로 평탄한 접속을 정의하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 $C$-링은 반무한 코homology와 관련된 모듈의 구조를 어떻게 자연스럽게 코딩하는가?

주요 결과

• 엔트윙드 모듈(반-예터-드린펠드 및 예터-드린펠드 모듈 포함)은 코링 $\mathcal{C} = A \otimes C$에 대한 코모듈이며, 코작용에서 유도된 평탄한 접속을 갖춘다.
• 군형원을 갖는 코링에서 평탄한 접속을 갖춘 모듈과 비단위 오른쪽 코작용 사이에 일대일 대응이 확립된다.
• $C$-링 $\mathcal{A} = C \otimes A$는 엔트윙드 모듈이 $\mathcal{A}$-모듈이 되며, 평탄한 접속이 코드라이버티브 $\lambda$를 통해 유도됨을 보여주는 이중 프레임워크를 제공한다.
• 히프 대수 $H$ 위의 반-예터-드린펠드 모듈에 대해 평탄한 접속은 명시적으로 $\nabla(m \otimes \overline{a}) = ma - m\varepsilon(a)$로 주어지며, $H$가 가환일 경우 이 값은 0이 된다.
• 코딩라이버티브 $\lambda(c \otimes \overline{a}) = S^{-1}(a_{(1)}) c a_{(2)} - \varepsilon(a)c$는 $C$-링의 구조와 특성 $\kappa = \varepsilon \otimes \varepsilon$에서 유도되며, 평탄한 접속을 유도한다.
• 케이건과 카크할리의 결과를 일반화하여, 히프-사이클릭 코homology 모듈이 $C$-링 구성에 의해 자연스럽게 평탄한 접속을 갖춘 모듈로 해석됨을 보여준다.