[논문 리뷰] Flatness of Tensor Products and Semi-Rigidity for $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras II

Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 CFT 유형의 $C_2$-cofinite 정점 연산자 대수(VOA)가 $S$-변환이 추적 함수만 포함하고 (가짜 추적 함수가 없으면) 준고정적이고 유리적임을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 조건 하에 모든 단순 모듈이 준고정적이며, 그들의 추적 함수가 $S$-변환에 나타남을 보여주며, 이는 $C_2$-cofinite 오르비폭 VOA에 응용되는데, 동일한 조건 하에 이들 역시 유리적임을 증명한다.

ABSTRACT

Let V be a simple C_2-cofinite VOA of CFT-type and we assume that there is a simple module U such that \Hom_V(U\boxtimes V',V) ot=0 where V' is a restricted dual of V. As the author has shown, an S-transformation S(Ψ_V) of a trace function Ψ_V on V corresponding \begin{pmatrix}0&-1\cr 1&0\end{pmatrix} may contain pseudo-trace functions. Our assumption in this paper is that no pseudo-trace functions appear in S(Ψ_V). Under these assumptions, we prove that every V-module W is semirigid and Ψ_W appears in S(Ψ_V). As a corollary of our main theorem, a fixed point subVOA of a rational VOA of CFT-type by an automorphism of finite order becomes rational if fixed point subVOA is C_2-cofinite.

연구 동기 및 목표

• 비단순 모듈의 구조를 $C_2$-cofinite CFT 유형의 VOA에서 조사한다.
• 추적 함수의 $S$-변환에서 가짜 추적 함수가 포함되지 않는 조건을 규명한다.
• 이러한 조건 하에서 $C_2$-cofinite VOA의 준고정성과 유리성을 확립한다.
• 오르비폭 VOA의 유리성에 대한 충분조건을, $S$-변환에서 가짜 추적 함수의 부재를 통해 제시한다.

제안 방법

• 모든 기약 $V$-모듈 $W$에 대해 $\mathrm{Hom}_V(W\boxtimes\widetilde{W}, V) \neq 0$ 인 $\widetilde{W}$ 가 존재한다는 가설 I을 가정한다.
• $S$-변환 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 가 가짜 추적 함수 없이 추적 함수의 선형 조합 뿐만으로 이루어져 있다는 가설 II를 도입한다.
• 추적 함수 $\Psi_V^{\mathrm{tr}}(v,\tau) = \mathrm{Tr}_V(o(v)q^{\tau(L(0)-c/24)})$ 와 그 $SL_2(\mathbb{Z})$ 내의 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 변환을 사용한다.
• $C_2$-cofinite VOA에서 로그형 상호연결 연산자 이론과 융합곱의 결합법칙을 적용한다.
• 자기 동형 작용과 타원 모듈을 이용한 추적 함수의 기하학적 수정을 구성한다.
• 합리적이고 $\tau$ 가 유한한 자기 동형인 $T$ 에 대해 오르비폭 VOA $T^\tau$ 에 적용하여, $S(\Psi_{T^\tau}^{\mathrm{tr}})$ 가 가짜 추적 함수를 포함하지 않음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $C_2$-cofinite VOA의 추적 함수의 $S$-변환에 가짜 추적 함수가 포함되지 않고 오직 추적 함수만 포함되는가?
• RQ2 만약 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 에 가짜 추적 함수가 없다면, VOA의 준고정성과 유리성이 보장되는가?
• RQ3 오르비폭 VOA $T^\tau$ 의 추적 함수의 $S$-변환에 가짜 추적 함수가 포함되지 않는다고 보일 수 있는가?
• RQ4 만약 $S(\Psi_{T^\tau}^{\mathrm{tr}})$ 에 가짜 추적 함수가 없다면, $T^\tau$ 의 유리성이 유도되는가?
• RQ5 가짜 추적 함수가 없을 경우, $T^\tau$ 의 추적 함수의 $S$-변환은 모든 단순 모듈의 추적 함수를 포함하는가?

주요 결과

• 만약 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 가 가짜 추적 함수 없이 추적 함수의 선형 조합 뿐이라면, 모든 단순 $V$-모듈은 준고정적이다.
• 모든 단순 모듈 $U$ 에서의 추적 함수 $\Psi_U^{\mathrm{tr}}$ 는 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 에서 비영인 계수로 나타난다.
• 합리적인 VOA $T$ 의 $C_2$-cofinite 오르비폭 모델 $V = T^\tau$ 에 대해 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 는 가짜 추적 함수를 포함하지 않는다.
• 결과적으로 이러한 오르비폭 모델 $V = T^\tau$ 는 유리적이다.
• $V = T^\tau$ 에서 추적 함수의 $S$-변환은 단순 $V$-모듈의 추적 함수의 선형 조합이다.
• 주요 정리는 가설 I과 II 하에 $V$ 가 준고정적이며, 모든 단순 모듈이 비영인 가중치로 $S$-변환에 기여함을 증명한다.