[论文解读] Follow Your Star: New Frameworks for Online Stochastic Matching with Known and Unknown Patience

Brian Brubach, Nathaniel Grammel+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 42被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的在线随机匹配框架，适用于已知和未知耐心度的情况，通过在星形图上使用黑箱算法，实现了对任意耐心度分布的 1/2-近似。该框架在随机到达设置中提升了竞争比，并首次为具有任意耐心度分布的级联点击模型提供了已知保证。

ABSTRACT

We study several generalizations of the Online Bipartite Matching problem. We consider settings with stochastic rewards, patience constraints, and weights (both vertex- and edge-weighted variants). We introduce a stochastic variant of the patience-constrained problem, where the patience is chosen randomly according to some known distribution and is not known until the point at which patience has been exhausted. We also consider stochastic arrival settings (i.e., online vertex arrival is determined by a known random process), which are natural settings that are able to beat the hard worst-case bounds of more pessimistic adversarial arrivals. Our approach to online matching utilizes black-box algorithms for matching on star graphs under various models of patience. In support of this, we design algorithms which solve the star graph problem optimally for patience with a constant hazard rate and yield a 1/2-approximation for any patience distribution. This 1/2-approximation also improves existing guarantees for cascade-click models in the product ranking literature, in which a user must be shown a sequence of items with various click-through-rates and the user's patience could run out at any time. We then build a framework which uses these star graph algorithms as black boxes to solve the online matching problems under different arrival settings. We show improved (or first-known) competitive ratios for these problems. Finally, we present negative results that include formalizing the concept of a stochasticity gap for LP upper bounds on these problems, bounding the worst-case performance of some popular greedy approaches, and showing the impossibility of having an adversarial patience in the product ranking setting.

研究动机与目标

• 解决具有随机奖励、耐心约束和权重的在线二分图匹配问题，特别是在耐心度未知或随机分布的设置下。
• 通过引入随机到达过程，克服对抗性到达模型的局限性，从而在竞争比上优于最坏情况的界。
• 开发一种黑箱方法，用于在各种耐心度模型下求解星形图匹配问题，从而拓展至一般在线匹配问题的广泛应用。
• 形式化并界定这些问题中线性规划上界在随机性方面的差距，明确随机设置下近似性能的极限。
• 在产品排序设置中，建立对抗性耐心度下的不可能性结果，明确可行近似边界的界限。

提出的方法

• 设计一种耐心度约束的在线匹配问题的随机变体，其中耐心度从已知分布中抽取，并仅在耗尽时才被揭示。
• 为常数风险率耐心度下的星形图开发最优算法，并为任意耐心度分布设计 1/2-近似算法。
• 构建一个通用框架，将星形图算法作为黑箱，用于在不同到达模型下求解更广泛的在线匹配问题。
• 利用随机到达过程（顶点到达遵循已知随机过程）以超越最坏情况对抗性界的性能。
• 将该框架应用于在线匹配的顶点加权和边加权变体，实现更优的竞争比。
• 将随机性差距正式定义为随机设置与对抗性设置下最优线性规划上界之比，提供性能增益的理论极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个统一框架，以处理在已知和未知耐心度下具有随机奖励、耐心约束和权重的在线匹配问题？
• RQ2 当耐心度从任意已知分布中随机抽取时，在线匹配问题可实现的竞争比是多少？
• RQ3 与对抗性到达相比，随机到达过程如何提升在线匹配问题的竞争比？
• RQ4 随机在线匹配中近似的根本极限是什么，其由线性规划松弛的随机性差距所捕获？
• RQ5 在对抗性耐心度下，是否可能在产品排序中实现非平凡的近似保证，还是此类设置本质上是不可解的？

主要发现

• 该论文在任意耐心度分布下，实现了对星形图上在线匹配的 1/2-近似，这是该类问题的最优结果。
• 该框架在随机到达设置下提升了在线匹配的竞争比，超越了对抗性模型中的最坏情况界。
• 星形图上的 1/2-近似也改进了现有在级联点击模型中的保证，其中用户可能在任意时间放弃，且已知点击通过率。
• 随机性差距被正式定义并界定，表明随机设置下的线性规划上界可能显著宽松于对抗性设置。
• 本文证明了在对抗性耐心度下，产品排序中无法实现非平凡的近似，强调了随机耐心度模型的必要性。
• 黑箱框架使得星形图算法可被重用于求解具有顶点加权和边加权变体的一般在线匹配问题，首次在多个设置中实现了已知的竞争比。