[논문 리뷰] Fractional Calculus and certain integrals of Generalized multiindex Bessel function

Kottakkaran Sooppy Nisar, Sunıl Dutt Purohıt외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 25.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중 인덱스를 가진 새로운 일반화된 다중색다음 베타 함수를 도입하고, 그에 대한 리만-리우빌 분수적 적분 및 미분 공식을 유도한다. 포크-라이트 함수를 통합적 프레임워크로 삼아, 이 함수를 포함하는 적분 변환을 수립하며, 이러한 적분이 일반화된 초함수 유형 함수로 줄어들음을 보여주어 기존의 분수계산 및 특수함수 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We aim to introduce the generalized multiindex Bessel function $J_{\left( β_{j} ight) _{m},κ,b}^{\left( α_{j} ight)_{m},γ,c}\left[ z ight] $ and to present some formulas of the Riemann-Liouville fractional integration and differentiation operators. Further, we also derive certain integral formulas involving the newly defined generalized multiindex Bessel function $J_{\left( β_{j} ight) _{m},κ,b}^{\left( α_{j} ight)_{m},γ,c}\left[ z ight] $. We prove that such integrals are expressed in terms of the Fox-Wright function $_{p}Ψ_{q}(z)$. The results presented here are of general in nature and easily reducible to new and known results.

연구 동기 및 목표

• 다중 매개변수와 복소 인덱스를 포함하는 새로운 일반화된 다중색다음 베타 함수를 정의하기.
• 이 새로운 함수에 대한 리만-리우빌 분수적 적분 및 미분 연산자의 작용을 조사하기.
• 이 일반화된 함수를 포함하는 닫힌 형태의 적분 표현식을 유도하고, 이를 포크-라이트 함수로 표현하기.
• 추가 매개변수와 인덱스를 도입하여 기존의 분수계산 및 특수함수 이론의 결과를 일반화하기.
• 매개변수의 특수화를 통해 다양한 특수한 경우를 평가할 수 있는 통합적 프레임워크를 제공하기.

제안 방법

• 포흐하머 기호와 일반화된 감마 함수를 포함하는 급수로서 $\mathcal{J}_{(\beta_j)_m,\kappa,b}^{(\alpha_j)_m,\gamma,c}[z]$로 일반화된 다중색다음 베타 함수를 정의하기.
• 기존의 적분 공식을 활용하여 일반화된 베타 함수에 리만-리우빌 분수적 적분 및 미분 연산자를 적용하기.
• 밀린-바너스 형 적분 표현식과 일반화된 라우리첼라 함수를 사용하여 유도된 적분을 평가하기.
• 최종 결과를 포크-라이트 함수 ${}_p\Psi_q(z)$로 표현하며, 그 급수 정의와 수렴 조건을 활용하기.
• 포흐하머 기호와 감마 함수 항등식을 사용하여 급수 전개에서의 곱과 비율을 단순화하기.
• 매개변수의 특수화를 통해 결과를 검증하여, 콜리와 아가르왈(2014)에서 제시한 알려진 특수함수들과의 일致성을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 인덱스와 복소 매개변수를 포함할 수 있도록 일반화된 다중색다음 베타 함수를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 리만-리우빌 연산자 하에서 이 일반화된 베타 함수의 분수적 적분 및 미분 공식은 무엇인가?
• RQ3 이 함수를 포함하는 적분은 포크-라이트 함수와 같은 특수함수로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 유도된 적분 공식의 타당성을 보장하기 위한 수렴 조건과 매개변수 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 적절한 매개변수의 특수화를 통해 결과가 알려진 특수함수로 어떻게 줄어들 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 다중색다음 베타 함수 $\mathcal{J}_{(\beta_j)_m,\kappa,b}^{(\alpha_j)_m,\gamma,c}[z]$ 는 포흐하머 기호와 일반화된 감마 함수를 포함하는 하이퍼기하 급수 유형의 급수로 정의된다.
• 일반화된 베타 함수의 리만-리우빌 분수적 적분은 포크-라이트 함수 ${}_p\Psi_q(z)$로 표현되며, 함수의 인덱스에서 유도된 명시적인 매개변수 집합을 포함한다.
• 특정 적분 공식이 $x^{\xi-1}(1-x)^{2(\xi+\sigma)-1}(1-x/3)^{2(\xi+\sigma)-1}(1-x/4)^{\xi+n-1}$ 을 포함하는 적분에 대해 도출되었으며, 결과는 분모에 $\left(\beta_j + \frac{b+1}{2}, \alpha_j\right)_{j=1}^m, \left(2\xi+\sigma,1\right)$, 분자에 $\left(\gamma,k\right), \left(\xi,1\right)$ 를 포함하는 ${}_2\Psi_{m+1}$ 형태로 표현된다.
• 매개변수의 특수화를 통해 결과가 알려진 특수함수로 줄어들며, 예를 들어 $c = -1$ 과 $b = 1$ 으로 설정하면 콜리와 아가르왈(2014)의 결과를 복원한다.
• 유도된 결과에서 포크-라이트 함수의 수렴은 조건 $1 + \sum B_j - \sum A_j \geq 0$ 하에서 보장되며, 수렴 반경 $\nabla$ 가 명시적으로 정의된다.
• 유도된 공식은 일반적이며, 다양한 알려진 결과들을 특수한 경우로 포함하고 있어, 분수계산에서 포크-라이트 함수의 통합적 역할을 입증한다.