[논문 리뷰] Fractional calculus and continuous-time finance II: the waiting-time distribution

Francesco Mainardi, Marco Raberto외 2명|Fainansu|2000. 06. 28.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 금융 시장의 체결 단위 가격 동역학을 기술하기 위해 미타그-레플레르 분포를 갖는 시간 지연 분포를 가진 연속 시간 랜덤 워크(CTRW) 모델을 제안한다. 분수적 미적분을 사용하여 시간 분수적 콜모고로프-펠러 방정식을 유도하였으며, 시간 지연의 생존 확률이 미타그-레플레르 함수를 따르는 것으로 나타났다. 이는 1997년 LIFFE의 BUND 선물 데이터에 잘 맞으며, 특히 중간에서 장기 간격에 대해 모델의 비마르코프, 기억 의존적 구조를 검증한다.

ABSTRACT

We complement the theory of tick-by-tick dynamics of financial markets based on a Continuous-Time Random Walk (CTRW) model recently proposed by Scalas et al., and we point out its consistency with the behaviour observed in the waiting-time distribution for BUND future prices traded at LIFFE, London.

연구 동기 및 목표

• 비마르코프, 기억 의존적 지연 시간을 포함시켜 CTRW 모델을 금융 시장의 체결 단위 동역학으로 확장하기 위해.
• 카푸토 도함수와 미타그-레플레르 함수를 사용하여 비국소적 시간 진화를 기술하는 시간 분수적 마스터 방정식을 유도하기 위해.
• 실제 고빈도 데이터를 기반으로 예측된 미타그-레플레르 생존 함수 Ψ(τ)를 검증하기 위해.
• CTRW 프레임워크가 금융 시장에서 관측된 지연 시간 분포와 일관된가를 평가하기 위해.
• 스토케스틱 체결 도착 시간 기반의 마이크로스코픽 시장 모델에 대한 영향을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 분수적 미적분을 사용하여 비국소적, 비마르코프 동역학을 갖는 CTRW에 대한 일반화된 마스터 방정식을 수립한다.
• 메모리 효과를 미타그-레플레르 함수를 통해 가능하게 하는 카푸토 분수 도함수를 사용하여 시간 진화를 모델링한다.
• 지연 시간 생존 함수 Ψ(τ)가 미타그-레플레르 함수임을 가정할 때 시간 분수적 콜모고로프-펠러 방정식을 유도한다.
• 푸리에-라플라스 변환을 사용하여 마스터 방정식을 풀고 시간에 의존하는 확률 밀도 함수 p(x,t)를 유도한다.
• 실제로 LIFFE BUND 선물 고빈도 데이터(1997년 6월 및 9월)를 사용하여 예측된 미타그-레플레르 형태 Ψ(τ)를 검증한다.
• 스태치드 지수함수, 거듭제곱 법칙, 유리 함수, 라이트 함수와의 비교를 통해 미타그-레플레르 함수의 적합도를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 금융 시장에서 지연 시간의 생존 확률을 정확히 기술하는 데에 미타그-레플레르 함수가 적합한가?
• RQ2 카푸토 도함수를 통해 유도된 시간 분수적 마스터 방정식이 고빈도 데이터에서의 실측 지연 시간 분포를 재현할 수 있는가?
• RQ3 중요한 꼬리 분포를 갖는 지연 시간을 가진 CTRW 모델은 전통적인 마르코프 모델에 비해 시장 마이크로구조를 얼마나 잘 기술하는가?
• RQ4 비마르코프 동역학은 시장 주문 도착의 마이크로스코픽 모델에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 미타그-레플레르 커널은 짧은 시간과 긴 시간의 지연 시간 행동을 연결하는 데 있어 유일하거나 최적의 선택인가?

주요 결과

• BUND 선물 데이터에서 지연 시간의 생존 확률 Ψ(τ)는 지수 β ≈ 0.95–0.96인 미타그-레플레르 함수로 잘 기술된다.
• 중간에서 장기 지연 시간에 대해 미타그-레플레르 적합이 실측 데이터와 강력한 일치를 보이며, 특히 1997년 6월 및 9월 도래 계약에서 두드러진다.
• 특히 중간 및 무거운 꼬리 영역에서 스트레칭 지수함수 및 거듭제곱 법칙 적합보다 모델이 뛰어난 성능을 보인다.
• 검토된 데이터 세트에서 라이트 함수와 유리 함수는 미타그-레플레르 함수에 비해 더 낮은 적합도를 보였다.
• 시간 분수적 콜모고로프-펠러 방정식은 금융 가격 변화의 비마르코프, 기억 의존적 동역학을 성공적으로 기술한다.
• 결과는 장기적 상관관계와 거래 집중 현상을 갖는 금융 시계열 모델링에 분수적 미적분의 적용을 지지한다.