[논문 리뷰] Fractional Derivatives and Integrals on Time Scales via the Inverse Generalized Laplace Transform

Nuno R. O. Bastos, Dorota Mozyrska외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 07.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 7인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 라플라스 변환의 역변환을 사용하여 임의의 시간 체계 위에서 새로운 분수적 미적분학을 제안한다. 분수적 적분과 도함수는 라플라스 변환의 역변환을 통해 정의되며, 핵심 기여는 이전 접근 방식의 모순를 해결하기 위해 델타 동역학 방정식을 활용하고 분수적 연산자에 대한 반군 법칙과 복합 법칙과 같은 기본 성질을 증명한 일관된 프레임워크를 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

We introduce a fractional calculus on time scales using the theory of delta (or nabla) dynamic equations. The basic notions of fractional order integral and fractional order derivative on an arbitrary time scale are proposed, using the inverse Laplace transform on time scales. Useful properties of the new fractional operators are proved.

연구 동기 및 목표

• 임의의 시간 체계에서 일관된 분수적 미적분학 프레임워크를 개발하여 이전 접근 방식의 모순을 해결한다.
• 시간 체계에서 일반화된 라플라스 변환의 역변환을 사용하여 분수적 적분과 도함수를 정의한다.
• 새로운 분수적 연산자에 대한 기본 성질, 예를 들어 복합 법칙과 반군 법칙을 수립한다.
• 연속적이고 이산적인 분수적 미적분학을 하나의 시간 체계 프레임워크로 통합한다.
• 일반화된 영역에서 동적 시스템, 제어 이론, 수학적 물리학 등에 응용하기 위한 엄밀한 수학적 기반을 제공한다.

제안 방법

• 시간 체계에서 일반화된 라플라스 변환의 역변환을 사용하여 시간 체계 위에서 분수적 적분과 도함수의 새로운 정의를 제안한다.
• 시간 체계 위에서 일반화된 라플라스 변환을 활용하여 분수적 연산자를 $ \mathcal{L}^{-1}_{\mathbb{T}}[z^{-\alpha}F(z)] $ 를 통한 분수적 적분과 $ \mathcal{L}^{-1}_{\mathbb{T}}[z^{\alpha}F(z)] $ 를 통한 분수적 도함수로 정의한다.
• 시간 체계 위에서 일반화된 다항식 $ h_k(t,t_0) $ 의 재귀적 정의를 사용하여 기본 해를 표현한다.
• 일반화된 라플라스 변환의 커플런션 정리를 적용하여 분수적 연산자에 대한 복합 법칙을 유도한다.
• 라플라스 변환 항등식을 통해 성질를 수립하며, 특히 $ \mathcal{L}[f^{(\alpha)}](z) = z^{\alpha}F(z) - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) z^{\alpha-k-1} $ 를 포함한다.
• 적절한 조건 하에서 $ I^{\alpha}_{\mathbb{T}}(f^{(\alpha)}) = f - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) h_k(t) $ 를 증명함으로써 일관성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 임의의 시간 체계에서 분수 도함수와 적분을 이전의 재귀적 다항식 정의의 한계를 피하면서 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 역 일반화된 라플라스 변환은 시간 체계 위에서 분수적 연산자를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 분수 도함수와 적분이 복합 법칙과 반군 법칙을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 새로운 분수적 연산자는 연속적인 경우에 고전적인 리만–리우빌 및 카푸토 도함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 새로운 프레임워크는 하나의 시간 체계 이론으로서 연속적이고 이산적인 분수적 미적분학을 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 체계 위에서 제안된 분수적 적분 및 도함수 연산자는 일반화된 라플라스 변환의 역변환을 통해 잘 정의되어 있으며, 이전의 재귀적 다항식 정의에 기반한 접근 방식의 모순을 해결한다.
• 분수적 도함수는 $ \mathcal{L}[f^{(\alpha)}](z) = z^{\alpha}F(z) - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) z^{\alpha-k-1} $ 를 만족하며, 시간 체계로 일반화된 카푸토 도함수를 일반화한다.
• 복합 법칙 $ \left(f^{(\alpha)}\right)^{(\beta)} = \left(f^{(\beta)}\right)^{(\alpha)} $ 는 $ \alpha + \beta \leq 1 $ 이고 $ f(0) = 0 $ 인 조건 하에서 성립하여 연산자의 순서 교환에 대한 일관성을 보장한다.
• 미적분학의 기본 정리의 일반화로서, 적당한 정규성 조건 하에서 항등식 $ I^{\alpha}_{\mathbb{T}}(f^{(\alpha)}) = f - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) h_k(t) $ 가 성립한다.
• 일반화된 라플라스 변환의 커플런션 정리를 통해 $ (f * g)^{(\alpha)} = f^{(\alpha)} * g = f * g^{(\alpha)} $ 라는 결과를 도출할 수 있으며, 이는 복합 연산과의 호환성을 보여준다.
• 조건 $ \lim_{z\to\infty} F(z)/z^{\alpha-k} = 0 $ 하에서 $ \left(I^{\alpha}_{\mathbb{T}}f\right)^{(\alpha)} = f(t) $ 가 성립함을 확인하여 분수적 적분과 도함수의 역연산 성질을 확인한다.