[논문 리뷰] Fractional Helmholtz and fractional wave equations with Riesz-Feller and generalized Riemann-Liouville fractional derivatives

Ram K. Saxena, Tomovski, Zivorad외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 14.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 49인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 Riesz-Feller 및 일반화된 Riemann-Liouville 분수도 도함수를 사용하여 두 변수에서 분수도 헬름홀츠 및 파동 방정식에 대한 해석적 해를 유도한다. 푸리에-라플라스 변환 방법을 적용함으로써 해는 미타그레플레르 함수, 포크 H-함수 및 적분 연산자로 표현되며, 고전적 방정식을 일반화하고 이전에 알려진 결과들을 특수한 경우로 복원하는 통합된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The objective of this paper is to derive analytical solutions of fractional order Laplace, Poisson and Helmholtz equations in two variables derived from the corresponding standard equations in two dimensions by replacing the integer order partial derivatives with fractional Riesz-Feller derivative and generalized Riemann-Liouville fractional derivative recently defined by Hilfer. The Fourier-Laplace transform method is employed to obtain the solutions in terms of Mittag-Leffler functions, Fox $H$-function and an integral operator containing a Mittag-Leffler function in the kernel. Results for fractional wave equation are presented as well. Some interesting special cases of these equations are considered. Asymptotic behavior and series representation of solutions are analyzed in detail. Many previously obtained results can be derived as special cases of those presented in this paper.

연구 동기 및 목표

• 정수계 도함수를 분수도 Riesz-Feller 및 일반화된 Riemiem-Liouville 도함수로 대체하여 두 차원에서 고전적 라플라스, 푸아송 및 헬름홀츠 방정식을 일반화하는 것.
• 공간과 시간에 대한 혼합 분수도 도함수를 포함하는 분수도 편미분 방정식을 해결하기 위한 통합된 해석적 프레임워크를 개발하는 것.
• 왜곡성과 복합 분수도 도함수를 통합하여 기존의 분수도 확산 및 파동 방정식 결과를 확장하는 것.
• 이러한 일반화된 분수도 방정식의 해의 점근적 행동과 급수 표현을 분석하는 것.
• 이전에 유도된 분수도 편미분 방정식 결과들이 제안된 일반화된 공식의 특수한 경우로 복원될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 혼합 계수 공간-시간 도함수를 가진 분수도 미분 방정식을 해결하기 위해 푸리에-라플라스 변환 방법을 사용하는 것.
• 첫 번째 공간 변수에 대해 스케일링 인자 θ에 따라 변하는 복소수 위상 인자를 포함한 푸리에 변환을 통한 Riesz-Feller 도함수 정의.
• 기억 효과를 매개변수화된 분수도 순서를 통해 포함하는 힐퍼-복합형 일반화된 Riemann-Liouville 분수도 도함수를 두 번째 변수에 적용하는 것.
• 분수도 미적분학에서 고전적 특수함수를 일반화하는 미타그레플레르 함수 및 포크 H-함수로 해를 유도하는 것.
• 해의 점근적 행동를 분석하고 표현하기 위해 멜린-바른스 적분 표현 및 적분 변환을 활용하는 것.
• 포크 H-함수 해의 적분 표현 및 점근적 전개를 유도하기 위해 멜린余kosine 변환을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 변수에서 혼합 Riesz-Feller 및 일반화된 Riemann-Liouville 도함수를 사용하여 분수도 헬름홀츠 및 파동 방정식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 다양한 경계 조건 및 소스 조건 하에서 이러한 방정식에 대해 도출되는 해석적 해는 무엇인가?
• RQ3 해의 점근적 행동는 어떻게 되며, 특수함수의 관점에서 급수 표현은 무엇인가?
• RQ4 유도된 해가 고전적 라플라스, 푸아송 및 헬름홀츠 방정식을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 이전에 발표된 분수도 확산 및 파동 방정식 결과들이 이 일반화된 프레임워크의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 분수도 라플라스 및 푸아송 방정식의 해는 분수도 순서와 왜곡성 매개변수에 명시적인 의존성을 보이는 미타그레플레르 함수 및 포크 H-함수로 표현된다.
• 분수도 헬름홀츠 방정식은 포크 H-함수와 미타그레플레르 커널을 가진 적분 연산자를 포함하는 해를 도출하며, 다양한 경계 및 소스 조건에 대해 유효하다.
• 포크 H-함수의 큰 z 행동을 이용하여 해의 점근적 전개를 유도하였으며, 거기서 거듭제곱 법칙 항에 의해 조절되는 지수 감쇠 행동을 보인다.
• 멜린-바른스 적분을 통한 급수 표현을 유도함으로써 수렴 조건과 함수적 구조를 밝혀냈다.
• Riesz-Feller 공간 도함수와 힐퍼-복합 시간 도함수를 포함하는 시간에 의존하는 분수도 파동 방정식이 분석되었으며, 이는 비정상 확산 및 파동 전파 모델을 확장한다.
• 기존에 발표된 분수도 편미분 방정식의 다수의 결과들이 제시된 일반 해의 특수한 경우로 나타나며, 일관성과 광범위한 적용 가능성을 확인한다.