[논문 리뷰] Fractional Order Optimal Control Model For Malaria Infection

Eric Okyere, Francis T. Oduro외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 32인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 메모리 효과를 역학에 통합하기 위해 캡투오 도함수를 사용하는 분수차 최적 제어 모델을 제안한다. 일반화된 오일러 스킴과 함께 전진-후진 스weep 방법을 적용하여, 시간에 따라 변화하는 제어(잠자리 방충망, 치료, 살충 스프레이)를 포함한 분수차 모델이 정수차 모델에 비해 감염된 인간 및 모기 개체수를 크게 감소시킴을 보여준다.

ABSTRACT

We propose and study an optimal control model for malaria infection described by system of fractional differential equations. The model is formulated in terms of the left and right Caputo fractional derivatives. We determine the necessary conditions for the optimality of the controlled dynamical system.The forward-backward sweep method with generalized euler scheme is applied to numerically compute the solutions of the optimality system.

연구 동기 및 목표

• 캡투오 도함수를 통해 기억 효과를 반영하는 분수차 최적 제어 모델을 개발한다.
• 변분법과 분수적 적분 부분적 분할 공식을 사용하여 제어 시스템의 필수 최적성 조건을 유도한다.
• 전진-후진 스위프 방법과 일반화된 오일러 스킴을 조합하여 최적성 시스템을 수치적으로 해결한다.
• 정수차 및 분수차 모델 모두에서 다양한 제어 전략—처리된 잠자리 방충망, 치료, 살충 스프레이—의 효능을 비교한다.
• 시간에 따라 변화하는 제어를 갖는 분수차 모델이 정수차 모델에 비해 질병 감소에 뛰어난 성능을 보임을 입증한다.

제안 방법

• 인간 및 모기 개체수의 기억 의존적 역학을 나타내기 위해 좌측 및 우측 캡투오 분수도 도함수를 사용하는 말라리아 전파 모델을 수립한다.
• 변분법과 분수적 적분 부분적 분할 공식을 사용하여 분수차 최적 제어 문제의 필수 최적성 조건을 도출한다.
• 상태 방정식과 쌍대 방정식을 포함하는 두점 경계값 문제를 해결하기 위해 전진-후진 스위프 방법을 적용한다.
• 최적성 시스템 내 분수차 미분 방정식의 해를 근사하기 위해 일반화된 오일러 방법을 수치적 방법으로 활용한다.
• 처리된 잠자리 방충망(u₁), 치료(u₂), 살충 스프레이(u₃)를 포함한 다중 제어 전략을 구현하며, 각각 시간에 따라 변화하는 함수로 간주한다.
• 기존 문헌에서 확보한 초기 조건 및 파라미터 값을 종합적으로 활용하여, 다양한 제어 시나리오와 분수차 순서(α = 1, 0.99, 0.95, 0.90) 간의 결과를 시뮬레이션 및 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수차 도함수는 정수차 모델에 비해 말라리아 전파 역학 모델링에 어떻게 향상되는가?
• RQ2 캡투오 도함수를 사용하는 말라리아 전파 모델에서 분수차 최적 제어 문제의 필수 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 개별 및 병합 제어(잠자리 방충망, 치료, 살충 스프레이)는 감염된 인간 및 모기 개체수 감소에 얼마나 효과적인가?
• RQ4 정수차 모델(α=1)과 분수차 모델(α<1) 간의 질병 통제 결과에 대한 비교적 영향은 어떠한가?
• RQ5 다양한 제어 전략과 분수차 순서에서 최적 제어 함수(u₁, u₂, u₃)는 시간에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 시간에 따라 변화하는 제어를 갖는 분수차 모델(α < 1)은 정수차 모델(α = 1)에 비해 감염된 인간 및 모기 개체수를 유의미하게 감소시킨다.
• 처리된 잠자리 방충망, 치료, 살충 스프레이를 모두 병행 적용할 경우 감염된 인간 및 모기 개체수 감소가 가장 두드러진다.
• 단일 제어만 적용할 경우, 처리된 잠자리 방충망(u₁)이 감염된 인간 감소에 가장 효과적이며, 그 다음 치료(u₂), 살충 스프레이(u₃)의 순서로 효과가 뒤이어진다.
• 최적 제어 함수(u₁, u₂, u₃)는 시간에 따라 변화하는 행동을 보이며, 초기에 높은 값을 가지며 점차 감소함을 보여, 조기에 집중적인 개입이 최적임을 시사한다.
• 수치 시뮬레이션은 일반화된 오일러 방법이 분수차 최적성 시스템의 해를 높은 정확도로 효과적으로 근사함을 확인한다.
• 분수도 도함수에 내재된 기억 효과는 장기적 통제 전략에서 실제 질병 역학을 반영하는 데 모델의 능력을 향상시킨다.