[논문 리뷰] Free Algebra with Countable Basis

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 27.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 가환환 D 위에서 가чёт 기저를 갖는 자유 D-대수의 이론을 수립한다. 해밀 기저(대수적, 위상이 없음)와 샤우드 기저(위상적, 수렴이 필요함)를 구분하며, 다항등차선형 사상과 대수적 곱이 샤우드 기저에서 수렴을 유지하는 조건을 확립한다. 수렴하는 급수를 정의하는 구조 상수들이 주어지면, 정상 수렴 전개를 갖는 원소들의 곱이 여전히 이러한 원소들의 집합에 속한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this book I treat the structure of D-module which has countable basis. If we do not care for topology of D-module, then we consider Hamel basis. If norm is defined in D-module, then we consider Schauder basis. In case of Schauder basis, we consider vectors whose expansion in the basis converges normally.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 가환환 D 위에서 가산 기저를 갖는 자유 D-모듈러스와 D-대수의 구조를 형식화하기 위해.
• 특히 노름이 부여된 모듈러스의 맥락에서 대수적(해밀) 기저와 위상적(샤우드) 기저를 구분하기 위해.
• 다항등차선형 사상과 대수적 곱이 샤우드 기저에서 수렴을 유지하는 조건을 설정하기 위해.
• 수렴하는 구조 상수가 주어지면, 정상 수렴 전개를 갖는 원소들의 곱이 여전히 이러한 원소들의 집합에 속한다는 것을 보장하기 위해.
• 특히 함수해석학적 맥락에서 비가환환 위의 선형대수학을 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 위상이 없는 대수적 구조를 위해 해밀 기저를 사용하며, 유한 선형 조합으로 정의된다.
• 노름이 부여된 D-모듈러스에서 샤우드 기저를 도입하며, 전개가 정상 수렴하도록 요구한다.
• 연속적인 다중선형 사상에 대해 normed D-모듈러스 L(D; A1, ..., An; A) 및 LC(D; A1, ..., An; A)를 정의한다.
• 정상 수렴 개념을 적용하여 다중선형 사상과 그 합성의 연속성을 보장한다.
• D-대수 곱셈을 위한 구조 상수 Ck_ij를 정의하며, 모든 i,j에 대해 ∑k Ck_ij ek 수렴이 보장되어야 한다.
• 다중선형 사상과 함수의 노름을 사용하여 위상적 맥락에서 유계성과 연속성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D-대수가 샤우드 기저를 갖는 경우, 곱셈에 의해 정상 수렴 성질이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 노름이 부여된 D-모듈러스 간의 다항등차선형 사상은 어떻게 특성화할 수 있으며, 연속성과 유계성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 구조 상수가 두 정상 수렴 전개를 갖는 원소들의 곱이 여전히 이러한 원소들의 집합에 속하도록 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 해밀 기저와 샤우드 기저의 구분은 선형 및 다중선형 사상의 표현과 연속성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 샤우드 기저 맥락에서 연속적인 다중선형 사상의 합성이 여전히 연속성을 유지하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• D-대수가 샤우드 기저를 갖고, 모든 i,j에 대해 ∑k Ck_ij ek 수렴이 보장되면, 대수는 위상적으로 잘 정의되어 있다.
• 정상 수렴 전개를 갖는 두 원소 a = ∑aiei 및 b = ∑bjej의 곱은 잘 정의되어 있으며, A+(e)에 속한다. 여기서 A+(e)는 정상 수렴 전개를 갖는 원소들의 집합이다.
• 다중선형 사상 f: A1 × ... × An → A의 노름이 유한한 것은, 관련된 사상 f^: A1 × ... × An → A가 연속적이고 유계일 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 모든 연속적인 다중선형 사상 f에 대해 ∥f∥ < ∞ 이고, ai ∈ A+i(e) 이면, f(a1, ..., an)의 이미지는 A+(e)에 속한다. 이는 이러한 사상들에 대해 닫힘 성질이 있음을 보장한다.
• 구조 상수가 수렴 급수를 생성하면, 정상 수렴 전개를 갖는 벡터들의 집합 A+(e)는 D-대수 내 곱셈에 대해 닫혀 있다.
• 켤레 D-모듈러스 L(D; A; D)는 ei(ej) = δij 를 만족하는 쌍대 기저 {ei}를 갖는다. 이 쌍대성은 주어진 기저 하에서 원래 모듈러스의 구조를 유지한다.