[논문 리뷰] Free lattice ordered groups and the topology on the space of left orderings of a group

Adam Clay|ArXiv.org|2009. 09. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자유 레이티스-순서군 $F(G)$ 내의 준동형사상의 핵과 군 $G$의 왼쪽 순서 공간 $LO(G)$의 위상 사이에 새로운 연결고리를 설정하며, 이로 인해 어떤 왼쪽 순서군도 가чёт한 수의 왼쪽 순서를 가질 수 없다는 새로운 증명을 이끌어낸다. 또한 자유군 $F_n$에 대해 $LO(F_n)$에서 조밀한 궤도를 가진 왼쪽 순서가 존재함을 보이며, 이는 $LO(F_n)$에 고립점이 없고, $F(F_n)$에 기본 원소가 없음을 시사한다.

ABSTRACT

For any left orderable group G, we recall from work of McCleary that isolated points in the space of left orderings correspond to basic elements in the free lattice ordered group over G. We then establish a new connection between the kernels of certain maps in the free lattice ordered group over G, and the topology on the space of left orderings of G. This connection yields a simple proof that no left orderable group has countably infinitely many left orderings. When we take G to be the free group of rank n, this connection sheds new light on the space of left orderings of the free group: by applying a result of Kopytov, we show that there exists a left ordering of the free group whose orbit is dense in the space of left orderings. From this, we obtain a new proof that the space of left orderings of a free group contains no isolated points.

연구 동기 및 목표

• 자유 레이티스-순서군의 대수적 구조와 군의 왼쪽 순서 공간의 위상적 성질 사이의 연결고리를 설정하는 것.
• 자연스러운 준동형사상의 핵 분석을 통해 $F(G)$에서, 어떤 왼쪽 순서군도 가чёт한 수의 왼쪽 순서를 가질 수 없음을 증명하는 것.
• 코피토프의 결과를 활용하여 자유군 $F_n$에 대해 $LO(F_n)$에서 조밀한 궤도를 가진 왼쪽 순서가 존재함을 보여주는 것.
• $LO(F_n)$에 고립점이 없고, 이는 $F(F_n)$에 기본 원소가 없다는 것과 동치임을 보여주는 것.

제안 방법

• McClery의 결과를 활용하여, $LO(G)$의 고립점은 자유 레이티스-순서군 $F(G)$의 기본 원소와 대응됨을 이용한다.
• 각 양의 원소 $P \in LO(G)$에 대해 $F(G)$에서 $\mathrm{Aut}(G, <_P)$로의 자연스러운 준동형사상의 핵을 분석한다.
• 코피토프의 결과를 응용하여, 자유군 $F_n$에 대해 $F_n$의 작용 하에서 조밀한 궤도를 가진 왼쪽 순서를 구성한다.
• 궤도 닫힘 기준을 사용한다: $P$가 $\mathrm{Orb}_G(P)$의 닫힘에 속하지 않으면, $\ker(\pi_P) \not\subset \ker(\pi_{P^{-1}})$이다.
• $LO(G) \subset 2^G$에 대한 곱 위상을 사용하며, 기저는 $U_g = \{P \in LO(G) \mid g \in P\}$이다.
• 콘라디안 순서는 국소 지표군과 대응되며, 볼록 부분군을 활용해 궤도 닫힘을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준동형사상 $\pi_P: F(G) \to \mathrm{Aut}(G, <_P)$의 핵이 $P$가 $LO(G)$에서 고립점인지 여부를 결정하는가?
• RQ2 자기군 $F(F_n)$의 대수적 성질을 통해 $LO(F_n)$에서 조밀한 궤도 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 왼쪽 순서군이 유한한 수의 왼쪽 순서만을 가질 수 있는가?
• RQ4 군 $G$의 작용 하에서 $LO(G)$가 조밀한 궤도를 포함할 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 자연스러운 준동형사상의 핵 분석을 통해 어떤 왼쪽 순서군도 가чёт한 수의 왼쪽 순서를 가질 수 없음을 입증하였다.
• 코피토프의 결과를 활용하여 자유군 $F_n$에 대해 $LO(F_n)$에서 조밀한 궤도를 가진 왼쪽 순서가 존재함을 보였다.
• $LO(F_n)$에 고립점이 없고, 이는 $F(F_n)$에 기본 원소가 없다는 것과 동치이다.
• $T_\infty$는 임의의 양의 원소에 대한 궤도의 닫힘과 동일한 왼쪽 순서 공간 $LO(T_\infty)$를 가지며, 따라서 $LO(T_\infty)$는 최소이고 위상적으로 전이적이다.
• $n > 2$인 브레이드 군 $B_n$은 $LO(B_n)$에 고립점이 있으며, 따라서 조밀한 궤도를 포함하지 않으며, 일반 기준과 일치한다.
• 모든 왼쪽 순서가 콘라디안인 유한생성군의 경우, 볼록 부분군 외부의 원소들의 코finality로 인해 $LO(G)$는 조밀한 궤도를 포함할 수 없다.