[논문 리뷰] Frobenius algebras and ambidextrous adjunctions

Aaron D. Lauda|arXiv (Cornell University)|2005. 02. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 깊은 카테고리적 이중성을 확립한다: 단순한 모나이드 카테고리 안의 모든 프로베누스 대상은 그 카테고리가 완전하고 충실하게 통합되는 2-카테고리에서 동시에 왼쪽과 오른쪽 수반을 갖는 앰비지트러스 수반(ambidextrous adjunction)으로부터 유래된다. 주요 기여는 앰비지트러스 수반을 통한 2차원 위상적 양자장 이론(TQFT)의 카테고리론적 재구성으로, 고차원으로의 일반화는 프로베누스 2-모노이드가 반순수한 모나이드 2-카테고리에서 반순수한 앰비지트러스 수반으로부터 유래됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we explain the relationship between Frobenius objects in monoidal categories and adjunctions in 2-categories. In particular, we show that every Frobenius object in a monoidal category M arises from an ambijunction (simultaneous left and right adjoints) in some 2-category D into which M fully and faithfully embeds. Since a 2D topological quantum field theory is equivalent to a commutative Frobenius algebra, this result also shows that every 2D TQFT is obtained from an ambijunction in some 2-category. Our theorem is proved by extending the theory of adjoint monads to the context of an arbitrary 2-category and utilizing the free completion under Eilenberg-Moore objects. We then categorify this theorem by replacing the monoidal category M with a semistrict monoidal 2-category M, and replacing the 2-category D into which it embeds by a semistrict 3-category. To state this more powerful result, we must first define the notion of a `Frobenius pseudomonoid', which categorifies that of a Frobenius object. We then define the notion of a `pseudo ambijunction', categorifying that of an ambijunction. In each case, the idea is that all the usual axioms now hold only up to coherent isomorphism. Finally, we show that every Frobenius pseudomonoid in a semistrict monoidal 2-category arises from a pseudo ambijunction in some semistrict 3-category.

연구 동기 및 목표

• 모나이드 카테고리 내의 프로베누스 대상과 2-카테고리 내의 앰비지트러스 수반 사이의 카테고리론적 대응 관계를 확립하기.
• 모든 2차원 TQFT는 가환 프로베누스 대수와 동치이므로, 어떤 2-카테고리 내에서 앰비지트러스 수반으로부터 유도됨을 보여주기.
• 프로베누스 대상을 프로베누스 2-모노이드로, 수반을 반순수 수반으로 일반화하여 고차원 카테고리로의 이중성 확장하기.
• 반순수 모나이드 2-카테고리 내의 모든 프로베누스 2-모노이드가 반순수 3-카테고리 내의 반순수 앰비지트러스 수반으로부터 유도됨을 증명하기.
• Eilenberg-Moore 대상과 확장된 Yoneda 보조정리를 사용하여 이러한 이중성을 구성하는 통합적 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• Eilenberg-Moore 대상에 대한 자유 완비화를 사용하여 수반 모나드 이론을 임의의 2-카테고리로 확장하기.
• 확장된 Yoneda 보조정리를 사용하여 EM-완비화 내의 표현 가능한 구조에서 반순수 수반을 재구성하기.
• 공리들이 일관된 동형으로까지 성립하는 카테고리화된 프로베누스 2-모노이드의 개념을 도입하기.
• 1-사상이 동시에 다른 사상에 대해 왼쪽과 오른쪽 반순수 수반인 구조를 일관된 동형으로 갖는 반순수 앰비지트러스 수반의 정의하기.
• Gray-카테고리에서 Eilenberg-Moore 대상을 구성하여 프로베누스 반순수 모나드에서 앰비지트러스 반순수 수반을 생성하기.
• 반순수 모나이드 2-카테고리와 Gray-카테고리 사이의 연결을 위해 스펀션 함자 Σ를 적용하여 주요 결과의 분류화를 가능하게 하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모나이드 카테고리 내의 모든 프로베누스 대상은 어떤 2-카테고리 내의 앰비지트러스 수반으로부터 유도될 수 있는가?
• RQ2 프로베누스 대수와 수반 사이의 이중성은 고차원 카테고리 구조로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 반순수 모나이드 2-카테고리 내에서 프로베누스 대수의 분류화된 동치물은 무엇인가?
• RQ4 반순수 모나이드 2-카테고리 내의 모든 프로베누스 2-모노이드는 어떤 반순수 3-카테고리 내의 반순수 앰비지트러스 수반으로부터 생성될 수 있는가?
• RQ5 Eilenberg-Moore 대상과 확장된 Yoneda 임bedding은 이러한 이중성을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모나이드 카테고리 내의 모든 프로베누스 대상은 그 카테고리가 완전하고 충실하게 통합되는 2-카테고리 내의 앰비지트러스 수반으로부터 유도된다.
• 모든 2차원 TQFT는 가환 프로베누스 대수와 동치이며, 따라서 어떤 2-카테고리 내의 앰비지트러스 수반으로부터 기인한다.
• Gray-카테고리 내의 객체 위에 존재하는 프로베누스 반순수 모나드는 그 Eilenberg-Moore 완비화 EM(𝒦)에서 앰비지트러스 반순수 수반을 생성한다.
• 프로베누스 반순수 모나드는 忘却 함자에 대해 동시에 왼쪽과 오른쪽 반순수 수반인 반순수 수반으로부터 생성되며, 동일한 쌍대단위를 갖는다.
• 이 구성은 EM(𝒦) 내의 반순수 수반으로 표현 가능한 구조를 올리는 데 확장된 Yoneda 보조정리를 기반으로 한다.
• 보조정리 42는 반순수 모나이드 2-카테고리 내의 프로베누스 2-모노이드가 그 카테고리의 스펀션의 Eilenberg-Moore 완비화인 EM(Σ(𝒫))에서 반순수 앰비지트러스 수반을 유도함을 확인한다.