[논문 리뷰] Frobenius splitting of cotangent bundles of flag varieties and geometry of nilpotent cones

Shrawan Kumar, Niels Lauritzen외 1명|arXiv (Cornell University)|1998. 09. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성 $p>0$에서 단순 연결된 반단순 대수군 $G$의 플라그 다양체 $G/B$의 코탄젠트 번들의 표준적인 프로베누스 분할을 수립하며, 스텐베르크 모듈과 노르멀 콘의 기하학과 연결한다. 주요 결과는 모든 군에 대해 균일하게 고차 코homology의 소멸성 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda) = 0$ ($i>0$ 및 근본적 $λ$)이 성립함을 보이며, 이는 하위정규 노르멀 콘 다양체의 정규성, 고렌스타인 성질, 그리고 유리 특이점을 가짐을 의미한다.

ABSTRACT

We use the G-invariant non-degenerate form on the Steinberg module to Frobenius split the cotangent bundle of a flag variety in good prime characteristics. This was previously only known for the general linear group. Applications are a vanishing theorem for pull back of line bundles to the cotangent bundle (proved for the classical groups and G_2 by Andersen and Jantzen and in characteristic zero by B. Broer (for all groups)), normality and rational singularities for the subregular nilpotent variety and good filtrations of the global sections of pull backs of line bundles to the cotangent bundle, which in turn implies good filtrations of cohomology of induced representations.

연구 동기 및 목표

• 플라그 다양체에서 양의 특성에서 코탄젠트 번들의 표준적인 프로베누스 분할을 수립하기 위해.
• 스텐베르크 모듈 $\mathrm{St}$ 위의 $G$-불변 형식 $\chi$가 $T^*(G/B)$의 프로베누스 분할과 어떻게 연결되는지 밝히기 위해.
• 모든 근본적 무게 $\lambda$에 대해 고차 코homology $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$의 소멸성을 이전 결과를 확장하여 균일하게 증명하기 위해.
• 이 코homological 소멸성에 기반하여 하위정규 노르멀 콘 다양체가 정규적이고 고렌스타인이며 유리 특이점을 가짐을 보여주기 위해.
• 타입 $A_n$에서의 메하타–반 데르 켈렌 분할을 다른 군들과 복합 부분군으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• $B$-등변 동형사상 $U \cong \mathfrak{u}$를 사용하여 $X = G \times^B U$를 $T^*(G/B) = G \times^B \mathfrak{u}$로 식별함으로써 코탄젠트 번들의 기하적 실현을 가능하게 한다.
• 스텐베르크 모듈 $\mathrm{St}$에 대해 자연스러운 사상 $\varphi: \mathrm{St} \otimes \mathrm{St} \to \mathrm{H}^0(X, \mathcal{O}_X)$를 구성한다.
• $\varphi(a \otimes b)$가 $X$의 프로베누스 분할임은 $\chi(a \otimes b) = 1$일 때이고 그 반대도 성립함을 증명함으로써 표현 이론과 프로베누스 분할을 연결한다.
• 표준적인 프로베누스 분할을 사용하여 레마 9를 통해 임의의 무게 $\lambda$에 대해 $\mathrm{H}^0(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$가 좋은 필터링을 가짐을 유도한다.
• 코스쿨 분해와 호지 코hom로의 대칭성(대칭성)을 적용하여, 모든 근본적 $\lambda$에 대해 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda) = 0$ ($i > 0$)임을 증명함으로써 이전 결과를 일반화한다.
• 표준 분할이 $T^*(G/B)$에서 유도하는 바에 따라, 모든 근본적 $\mu$ 및 $p > h$에 대해 $\mathrm{H}^i(G_1, \mathrm{H}^0(G/B, \mu))^{[-1]}$에 좋은 필터링이 존재함을 보임으로써 앤더슨과 양츠엔의 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스텐베르크 모듈 위의 $G$-불변 형식 $\chi$는 코탄젠트 번들의 프로베누스 분할과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 모든 반단순 군에서 양의 특성에서 고차 코homology $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$ ($i > 0$)의 소멸성은 균일하게 증명될 수 있는가?
• RQ3 표준 프로베누스 분할이 하위정규 노르멀 콘 다양체의 유리 특이성과 정규성을 유도하는가?
• RQ4 표준 분할은 $\mathrm{GL}_n$의 경우에서의 메하타–반 데르 켈렌 분할과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 코homological 소멸 결과는 복합 플라그 다양체와 정규 근본적 무게로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 표준 프로베누스 분할은 $\mathrm{St} \otimes \mathrm{St}$의 $B$-모듈 구조를 통해 구성되며, $\varphi(a \otimes b)$가 프로베누스 분할임은 $\chi(a \otimes b) = 1$일 때이고 그 반대도 성립한다.
• 모든 근본적 무게 $\lambda$에 대해 고차 코homology의 소멸 정리 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda) = 0$ ($i > 0$)가 성립하며, 이는 이전 결과를 모든 군에 대해 균일하게 확장한다.
• 하위정규 노르멀 콘 다양체는 정규적이고 고렌스타인이며 유리 특이점을 가짐이 소멸성에 의해 증명된다.
• $\mathrm{H}^i(G_1, \mathrm{H}^0(G/B, \mu))^{[-1]}$는 모든 근본적 $\mu$ 및 $p > h$에 대해 좋은 필터링을 가짐을 보이며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 표준 프로베누스 분할을 통해 임의의 무게 $\lambda$에 대해 $\mathrm{H}^0(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$에 좋은 필터링이 존재함을 보인다.
• 타입 $A_n$에서, 메하타–반 데르 켈렌 분할은 표준 분할 함수의 $N(p-1)$-번째 동차 성분으로 나타나며, 여기서 $N = n(n+1)/2$이다.