[논문 리뷰] From 0D to 1D spatial models using OCMat

Dieter Graß|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 15.

Reservoir Engineering and Simulation Methods인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부분 미분 방정식(PDE)를 유한 차분 이산화하여 큰 차수의 상미분 방정식(ODE) 시스템으로 변환함으로써, 무한 시간 할당 최적 제어 문제를 위한 MATLAB 도구인 OCMat이 1차원 공간 분포 시스템 분석으로 확장될 수 있음을 보여준다. 이 방법은 얕은 lakе 모델의 패턴형 평형 상태를 수치적으로 분석할 수 있게 하여, 이질적인 동등 기준점(Indifference threshold points)을 규명하고, 균일한 상태와 이질적인 평형 상태의 안착 영역을 분리하는 데서 그 역할을 확인한다.

ABSTRACT

We show that the standard class of optimal control models in OCMat can be used to analyze 1D spatial distributed systems. This approach is an intermediate step on the way to the FEM discretization approach presented in Grass and Uecker (2015). Therefore, the spatial distributed model is transformed into a standard model by a finite difference discretization. This (high dimensional) standard model is then analyzed using OCMAT. As an example we apply this method to the spatial distributed shallow lake model formulated in Brock and Xepapadeas (2008). The results are then compared with those of the FEM discretization in GRass and Uecker (2015)

연구 동기 및 목표

• 초기에는 0차원 최적 제어 문제 전용으로 설계된 OCMat의 적용 가능성을 1차원 공간 분포 시스템으로 확장하는 것.
• PDE 기반 모델에 대한 표준 최적 제어 분석과 완전한 유한 요소 방법(FEM) 이산화 간 격차를 메우는 것.
• 공간적 얕은 lakе 모델에서 패턴형 최적 평형 상태(POSS)의 존재성과 성질, 안정성에 대해 수치적으로 조사하는 것.
• 균일한 평형 상태와 이질적인 평형 상태의 안착 영역을 분리하는 이질적 동등 기준점(Skiba points)을 식별하고 위치를 특정하는 것.
• 이전 연구(Goass와 Uecker, 2015)에서 얻은 더 정확한 FEM 기반 결과와 비교하여 유한 차분 접근의 타당성을 검증하는 것.

제안 방법

• 1차원 얕은 lakе 모델의 PDE에서 공간 도함수에 대해 유한 차분 이산화를 적용하여 큰 차수의 ODE 시스템으로 변환하는 것.
• 유도된 고차원 ODE 시스템을 OCMat에 입력하여, 내장된 수치적 연속성 및 해 추적 기능을 활용하는 것.
• OCMat의 수치적 연속성 기법을 활용해 평형 상태에서 원점까지의 극단적 해를 추적하고, 안정 및 불안정 다각형을 식별하는 것.
• 목적 함수 값이 서로 같은 경로를 가진 평형 상태의 점을 찾기 위해 'findindifferencepoint' 함수를 사용하는 것.
• 경계값 문제 해의 수치 정확도를 확보하기 위해 메esh 적응 및 절단 시간 제어를 적용하는 것.
• Grass와 Uecker(2015)에서 사용한 FEM 기반 결과와 비교하여, 주요 발견의 일관성을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0차원 최적 제어 문제를 위한 OCMat이 유한 차분 이산화를 통해 1차원 공간 분포 시스템 분석에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 1차원 얕은 lakе 모델에서 이질적 동등 기준점(Skiba points)의 위치와 성질은 무엇인가?
• RQ3 균일한 평형 상태(FOSS)와 패턴형 평형 상태(POSS)의 안착 영역는 어떻게 다를 수 있으며, 기준 다각형은 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 유한 차분 이산화 결과가 Grass와 Uecker(2015)에서 사용한 더 정확한 FEM 기반 접근 결과와 어느 정도 일치하는가?
• RQ5 비결함 있는 POSS는 안정적이고 최적인가? 목적 함수 값과 동적 행동 측면에서 결함 있는 것과 비교해보면 어떠한가?

주요 결과

• 유한 차분 이산화 접근은 OCMat이 1차원 공간 최적 제어 문제를 분석할 수 있도록 성공적으로 가능하게 하여, FEM 기반 분석으로 향하는 계산적으로 실현 가능한 중간 단계를 제공한다.
• 두 개의 구분된 이질적 동등 기준점이 식별되었는데, 하나는 제7개 평형 상태(PCSS 0)에 대응하고 다른 하나는 제4개 평형 상태(PCSS 0)에 대응하며, 각각 FOSS와 POSS의 안착 영역을 분리한다.
• 목적 함수(해밀토니안) 분석을 통해 제7개 평형 상태에서 시작할 경우 빈도 상태 솔루션이 최적이며, 올리고트로픽 상태 솔루션은 열악한 것으로 확인되었다.
• 동등 기준점에서 FOSS로의 연속성 추적을 통해 동등 기준점들의 연결 다각형 존재가 확인되었으며, 이는 Skiba 점 이론과 일치한다.
• 유한 차분 방법 결과는 Grass와 Uecker(2015)에서의 FEM 기반 결과와 매우 유사하여, 이 방법의 정확성과 유용성을 검증하였다.
• 이 방법은 비결함 있는 POSS와 그에 수반된 안정 다각형을 성공적으로 식별하고 위치를 특정하여, 최적 전이 경로에서의 역할을 확인하였다.