[논문 리뷰] From A to B: New Methods to Interpolate Two Poses

Hans-Peter Schröcker|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 14.

Advanced Vision and Imaging인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 표준 SE(3) 점 모델인 동차 변환 행렬과 이중 허수량을 사용한 확장된 임베딩 공간에서의 선형 보간을 통해 두 강체 자세 사이를 보간하는 두 가지 새로운 방법을 제안한다. 결과로 얻어진 운동은 유리 곡선이며 저차수 곡선—수직 다르부 운동 또는 삼차 원운동—으로, 두 입력 자세로 정의된 실린더 군 내에 존재하며 기하학적으로 명확한 해석이 가능하고 매개변수화 가능한 가중치를 가진다.

ABSTRACT

We present two methods to interpolate between two given rigid body displacements. Both are based on linear interpolation in the ambient space of well-known curved point models for the group of rigid body displacements. The resulting motions are either vertical Darboux motions or cubic circular motions. Both are rational of low degree and lie in the cylinder group defined by the two input poses. We unveil the essential parameters in the construction of these motions and discuss some of their properties.

연구 동기 및 목표

• 나선형 보간의 비대수적 성격으로 인해 발생하는 한계를 극복할 수 있는 강체 자세 보간의 대안적 방법 개발.
• SE(3) 점 모델의 확장된 임베딩 공간에서의 선형 보간을 활용해 유리 곡선이면서 저차수의 운동을 생성하는 방법 탐색.
• 결과로 얻어진 운동의 기하학적 및 대수적 성질, 특히 군집 표면과 실린더 군과의 관계를 규명하는 것.
• 운동 보간과 기하학적 운동의 고전적 구성 방식(예: 선 대칭 운동, 쌍곡포물면) 간의 연결 고리 설정.
• 확장된 운동학적 사상 µ[m]을 통해 표준 CAD 기법(예: de Casteljau 및 de Boor 알고리즘)을 운동 설계에 적용할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• SE(3)의 동차 변환 행렬 모델(R12)과 이중 허수량 모델(P7)을 그들의 임베딩 아핀 또는 사영 공간으로 확장하여 선형 보간을 가능하게 한다.
• 확장된 행렬 공간에서의 선형 보간을 적용하여, 쌍곡포물면의 한 가족의 군집 표면에 대해 선대칭인 운동을 생성한다.
• 기하학적 운동이 실린더 군에 속해 있음이 바로 그 기반 쌍곡포물면이 수직일 때, 즉 매개변수 a = ±b 일 때에만 성립함을 보여준다.
• 확장된 이중 허수량 모델을 사용하여 선형 보간을 통해 수직 다르부 운동을 생성하며, 이는 유리 곡선이면서 기하학적으로 잘 이해된 운동이다.
• 삼차 원운동의 전송 곡선이 스케일링 및 이동된 탄젠트 함수임을 입증하여 운동 매개변수와 궤도 기하학 간의 직접적인 관계를 규명한다.
• 비가역적인 확장된 운동학적 사상 µ[m]을 활용하여 표준 CAD 곡선 구성 기법(예: Bézier 곡선)을 강체 운동 공간으로 전파한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SE(3) 점 모델의 확장된 임베딩 공간에서의 선형 보간이 나선형 보간의 비대수적 성격을 피하는 유리 곡선이면서 저차수의 운동을 생성할 수 있는가?
• RQ2 확장된 행렬 모델에서의 선형 보간으로 생성된 운동을 뒷받침하는 기하학적 구조(예: 군집 표면, 실린더 군)는 무엇인가?
• RQ3 쌍곡포물면의 매개변수(예: a, b)가 운동의 대칭성과 실린더 군에 속하는지에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 삼차 원운동에서 전송 곡선(각도 회전 대 변위)과 궤도 기하학 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 표준 CAD 곡선 설계 기법(예: de Casteljau, de Boor)이 확장된 운동학적 사상에 의해 얼마나 잘 운동 설계에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 확장된 행렬 모델에서의 선형 보간은 쌍곡포물면의 한 가족의 군집 표면에 대해 선대칭인 삼차 원운동을 생성한다.
• 기하학적 운동이 실린더 군에 속해 있음이 바로 그 기반 쌍곡포물면이 수직일 때, 즉 매개변수 a와 b가 a = ±b 를 만족할 때에만 성립한다.
• 삼차 원운동의 전송 곡선은 스케일링 및 이동된 탄젠트 함수이며, 각도 회전과 변위 거리 간의 직접적인 관계를 나타낸다.
• 삼차 원운동에서 점의 궤도는 정확히 한 개의 무한원점이 있는 3차 유리 곡선이며, 이 점을 향한 정사영은 원이다.
• 확장된 이중 허수량 모델을 통해 선형 보간을 통해 수직 다르부 운동을 생성할 수 있으며, 이는 유리 곡선이면서 두 입력 자세로 정의된 실린더 군 내에 존재한다.
• 확장된 운동학적 사상 µ[m]은 CAD 곡선 구성 기법(예: Bézier 곡선)을 운동 설계로 전파할 수 있게 하여, 강체 운동에 대해 de Casteljau 및 de Boor 알고리즘을 적용할 수 있게 한다.