[논문 리뷰] From almost sure local regularity to almost sure Hausdorff dimension for Gaussian fields

Érick Herbin, Benjamin Arras외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비정상적 증분을 갖는 가우시안 랜덤 필드에서 국소 헬더 연속성과 전역 하우스도르프 차원 사이의 연결 고리를 설정한다. 결정론적 국소 하위지수를 도입하고 프로세스의 증분 분산을 활용하여, 거의 확실히 어떤 점 주변의 그래프와 범위의 하우스도르프 차원이 그 점에서의 국소 헬더 지수에 의해 결정됨을 증명한다. 이는 아들러의 결과를 비정상적 설정으로 확장하며, 다중분수 브라운 운동과 일반화된 위어스트라스 함수에 적용된다.

ABSTRACT

Fine regularity of stochastic processes is usually measured in a local way by local H\\"older exponents and in a global way by fractal dimensions. Following a previous work of Adler, we connect these two concepts for multiparameter Gaussian random fields. More precisely, we prove that almost surely the Hausdorff dimensions of the range and the graph in any ball $B(t_0,\ ho)$ are bounded from above using the local H\\"older exponent at $t_0$. We define the deterministic local sub-exponent of Gaussian processes, which allows to obtain an almost sure lower bound for these dimensions. Moreover, the Hausdorff dimensions of the sample path on an open interval are controlled almost surely by the minimum of the local exponents. Then, we apply these generic results to the cases of the multiparameter fractional Brownian motion, the multifractional Brownian motion whose regularity function $H$ is irregular and the generalized Weierstrass function, whose Hausdorff dimensions were unknown so far.

연구 동기 및 목표

• 정상적 증분 프로세스에서 아들러의 하우스도르프 차원 결과를 비정상적 증분 프로세스로 확장하기 위해.
• 다중변수 가우시안 필드에 대해 국소 헬더 연속성과 전역 프랙탈 차원 사이의 일반적 연결 고리를 설정하기 위해.
• 결정론적 국소 하위지수를 정의하고 활용하여 그래프와 범위의 하우스도르프 차원에 대해 거의 확실한 경계를 설정하기 위해.
• 다양한 과정, 예를 들어 다중분수 브라운 운동과 불규칙한 정규성 함수를 갖는 일반화된 위어스트라스 함수에 이 토대를 적용하기 위해.
• 이전에 알려지지 않았던 일반화된 위어스트라스 함수의 표본 경로에 대한 하우스도르프 차원을 해결하기 위해.

제안 방법

• 비정상적 가우시안 필드에서 국소 정규성을 측정하기 위해 결정론적 국소 하위지수와 국소 헬더 지수를 도입한다.
• 증분 분산 $\mathbf{E}[|X_u - X_v|^2]$을 사용하여 국소 헬더 행동을 특성화하고 하우스도르프 차원에 대한 경계를 유도한다.
• H가 헬더 연속일 경우 $\lambda^{-jH(u)}$ 항 간의 차이를 제어하기 위해 유한 증분 정리를 적용한다.
• 특히 H가 $\beta$-헬더 연속일 경우 허스트 함수 $H(t)$의 정규성에 기반하여 분산에 대한 상한과 하한을 설정한다.
• 필요한 분산 스케일링 조건을 충족함으로써 다중변수 분수 브라운 운동과 일반화된 위어스트라스 함수에 결과를 적용한다.
• 국소 정규성과 프랙탈 차원 간의 연결 고리를 활용하여 점 주변의 수축하는 구에서 하우스도르프 차원의 거의 확실한 극한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 점에서의 국소 헬더 연속성만을 사용하여 가우시안 필드의 그래프와 범위의 하우스도르프 차원을 거의 확실히 경계할 수 있는가?
• RQ2 점에서의 국소 헬더 지수는 수축하는 이웃에서 그래프와 범위의 하우스도르프 차원의 점근적 행동과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 불규칙한 정규성 함수 $H$를 갖는 일반화된 위어스트라스 함수의 그래프와 범위의 거의 확실한 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ4 결정론적 국소 하위지수는 그래프와 범위의 하우스도르프 차원에 대해 거의 확실한 날카로운 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ5 구간에서 국소 헬더 지수의 최솟값은 표본 경로의 전역 하우스도르프 차원을 제어하는가?

주요 결과

• 모든 $t_0 \in \mathbf{R}_+^N$에 대해, $H$가 $\beta$-헬더 연속일 경우 일반화된 위어스트라스 함수 $X$의 그래프에 대한 거의 확실한 국소 하우스도르프 차원은 $\rho \to 0$일 때 $2 - H(t_0)$로 수렴한다.
• 모든 $t_0$에 대해 $X$의 범위에 대한 하우스도르프 차원은 $H(t_0)$와 관계없이 거의 확실히 1이다. 이는 범위가 일차원적이기 때문이다.
• 일반화된 위어스트라스 함수의 국소 헬더 지수와 하위지수는 거의 확실히 $\widetilde{\bbalpha}_X(t_0) = \underline{\bbalpha}_X(t_0) = H(t_0)$를 만족한다.
• 불규칙한 $H(t)$를 갖는 다중분수 브라운 운동의 경우, 국소 정규성은 $H(t_0)$에 의해 결정되며, $t_0$ 주변의 수축하는 구에서 그래프의 하우스도르프 차원은 거의 확실히 $2 - H(t_0)$로 수렴한다.
• 이 결과는 아들러의 정리가 증분 분산에서 유도된 국소 하위지수로 대체된 비정상적 증분 가우시안 필드로 일반화된다.
• 논문은 일반화된 위어스트라스 함수의 표본 경로에 대한 하우스도르프 차원을 해결하였으며, 국소적으로 거의 확실히 $2 - H(t_0)$이며 범위의 경우 1임을 보였다.