[논문 리뷰] From Directed Polymers in Spatial-correlated Environment to Stochastic Heat Equations Driven by Fractional Noise in 1 + 1 Dimensions

Guanglin Rang|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1+1 차원에서 장거리 상관성이 있는 무작위 환경 내의 방향성 고리의 스케일링된 분할 함수의 약한 수렴을 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 확률적 열 방정식의 해로 규명한다. 환경에서 공간 상관성이 다항식으로 감쇠할 경우, 한계 방정식의 분수 허스트 매개수는 상관 지수와 일치하며, 다중 이토 적분과 정staionary 필드의 스펙트럼 분석을 통해 유도된다.

ABSTRACT

We consider the limit behavior of partition function of directed polymers in random environment represented by linear model instead of a family of i.i.d.variables in $1+1$ dimensions. Under the assumption that the correlation decays algebraically, using the method developed in [Ann. Probab., 42(3):1212-1256, 2014], under a new scaling we show the scaled partition function as a process defined on $[0,1] imes\RR$, converges weakly to the solution to some stochastic heat equations driven by fractional Brownian field. The Hurst parameter is determined by the correlation exponent of the random environment. Here multiple Itô integral with respect to fractional Gaussian field and spectral representation of stationary process are heavily involved.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 상관된 무작위 환경에서의 방향성 고리의 장시간 근처 행동을 연구한다.
• 스케일링된 분할 함수의 약한 수렴을 분수 노이즈에 의해 구동되는 확률적 열 방정식(SHE)의 해로 확립한다.
• 한계 노이즈의 분수 허스트 매개수를 환경의 상관 지수의 함수로 규명한다.
• 비.i.i.d. 무작위 환경을 위한 스펙트럼 표현 및 다중 이토 적분 기법을 개발하고 적용한다.
• 이전의 i.i.d. 환경 결과를 1+1 차원에서 장거리 상관 구조로 확장한다.

제안 방법

• 표준 지수 형태가 아닌 선형화된 모델을 분할 함수에 적용하여 해석적 취급 가능성을 확보한다.
• 2014년 Ann. Probab. 42(3):1212–1256의 방법을 활용해 장거리 상관이 있는 비.i.i.d. 환경을 다룬다.
• 전이 확률의 다중 이토 적분을 사용하여 분할 함수의 카오스 전개를 표현하기 위해 분수 가우시안 필드에 대한 적분을 활용한다.
• 정staionary 무작위 필드의 스펙트럼 표현을 활용해 환경의 상관 구조를 분석한다.
• 시간-공간에서의 과정의 약한 수렴을 증명하기 위해 코모고로프의 타이트니스 기준을 적용한다.
• 푸리에 분석과 국소 중심극한정리로 분할 함수의 시간 및 공간 증분의 모멘트를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 환경 내 장거리 공간 상관성이 방향성 고리 분할 함수의 스케일링 극한에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 스케일링된 분할 함수의 약한 극한으로 나타나는 확률적 열 방정식의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 한계 노이즈의 허스트 매개수는 환경의 상관 지수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 다중 이토 적분 및 스펙트럼 방법을 사용해 비.i.i.d. 환경에 대해 수렴 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ5 환경의 어떤 모멘트 조건 하에서 한계 과정이 존재하고 타이트성을 만족하는가?

주요 결과

• 스케일링된 분할 함수는 1+1 차원에서 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 확률적 열 방정식의 해로 약하게 수렴한다.
• 한계 노이즈의 허스트 매개수 H는 공간적으로 상관된 환경의 상관 지수와 일치한다.
• 단순 대칭 랜덤 워크의 전이 확률에 대한 다중 이토 적분을 활용한 카오스 전개를 통해 수렴이 확립된다.
• 한계 과정은 하올더 유형의 모멘트 유계를 만족한다: E|z_n(t,x)−z_n(s,y)|^{2q} ≤ C_ε(|t−s|^{Hq} + |x−y|^{ιq}) (일부 ι < H 및 q > 1에 대해).
• 환경의 2q차 모멘트가 q > 2/H일 때 유한하다는 가정 하에 {z_n}의 C([ε,1], ℝ)에서의 타이트니스가 증명된다.
• 이 결과는 이전의 i.i.d. 환경에 대한 연구를 장거리 공간 상관 구조로 일반화하며, 이제 노이즈 구조는 분수 브라운 운동에 의해 규정된다.