[논문 리뷰] Function spaces and capacity related to a Sublinear Expectation: application to G-Brownian Motion Pathes

Laurent Denis, Mingshang Hu외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 09.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 14인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 $L^1_G(\Omega)$를 $G$-기대 하에서 일관된 적분 가능 조건을 만족하는 준연속 버전을 가진 랜덤 변수의 공간으로 규명한다. $L_{ip}( Omega)$의 $\mathbb{E}[\cdot]$-노름 완비화가 $C_b(\Omega)$의 $\hat{\mathbb{E}}[\cdot]$-완비화와 일치함을 증명함으로써, 비선형 기대 이론의 기초적 문제를 해결하고, 변동성 불확실성 하에서 경로에 의존하는 리스크 측도에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we give some basic and important properties of several typical Banach spaces of functions of $G$-Brownian motion pathes induced by a sublinear expectation--G-expectation. Many results can be also applied to more general situations. A generalized version of Kolmogorov's criterion for continuous modification of a stochastic process is also obtained. The results can be applied to continuous time dynamic and coherent risk measures in finance in particular for path-dependence risky positions under situations of volatility model uncertainty.

연구 동기 및 목표

• 모든 $L^1_G(\Omega)$의 원소가 측도 가능 랜덤 변수로서 준연속 버전을 가질 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 비선형 기대 프레임워크 하에서 $L_{ip}(\Omega)$ 및 $C_b(\Omega)$의 $\mathbb{E}[\cdot]$-노름 완비화를 특성화하는 것.
• G-브라운 운동의 맥락에서 연속 수정을 위한 일반화된 콜모고로프 기준을 수립하는 것.
• 금융에서 변동성 불확실성 하에서 동적이고 일관된 리스크 측도를 위한 엄밀한 함수해석학적 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 가족 $\mathscr{P}$에 대한 선형 기대의 초월로서 $G$-기대의 표현을 활용한다.
• 경로 공간의 컴acts부분집합에서 유계 연속 함수를 $L_{ip}$ 함수로 근사하기 위해 스톤-바이어스트라스 정리를 적용한다.
• 가족 $\mathscr{P}$의 강건성(tightness)을 이용해 제어된 용량을 가진 근사 수열을 구성한다.
• 준연속성 개념을 도입하고, 용량 $c(A) = \sup_{P \in \mathscr{P}} P(A)$를 사용해 준확실 성격을 정의한다.
• $L^1_G(\Omega_T)$와 $\lim_{n \to \infty} \hat{\mathbb{E}}[|X| \mathbf{1}_{\{|X| > n\}}] = 0$ 조건을 만족하는 준연속 버전을 가진 랜덤 변수의 공간 간의 동치성을 확립한다.
• $L^1_G(\Omega)$의 모든 $X$에 대해 $\mathbb{E}[X] = \hat{\mathbb{E}}[X]$임을 증명하여, $G$-기대를 강건한 초기대(superexpectation)와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $L^1_G(\Omega)$ 원소는 $\mathscr{F}$-가측 랜덤 변수로서 준연속 버전을 가질 수 있는가?
• RQ2 $L_{ip}(\Omega)$, $C_b(\Omega)$, $B_b(\Omega)$의 $\mathbb{E}[\cdot]$-완비화 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $G$-기대가 $L^1_G(\Omega)$에서 강건한 초기대 $\hat{\mathbb{E}}[X] = \sup_{P \in \mathscr{P}} E_P[X]$와 일치하는가?
• RQ4 비선형 기대 프레임워크에서 연속 수정을 위한 일반화된 콜모고로프 기준을 수립할 수 있는가?
• RQ5 용량 $c(A)$와 $\bar{c}(A)$는 어떻게 관련되어 있으며, 이들의 역할은 $L^1_G$ 공간의 특성화에 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• $L^1_G(\Omega_T)$는 모든 $X \in L^0(\Omega_T)$ 중에서 준연속 버전을 가지며 $\lim_{n \to \infty} \hat{\mathbb{E}}[|X| \mathbf{1}_{\{|X| > n\}}] = 0$ 조건을 만족하는 집합으로 특성화된다.
• $L_{ip}(\Omega_T)$의 $\mathbb{E}[\cdot]$-노름 완비화는 $C_b(\Omega_T)$의 $\mathbb{E}[\cdot]$-노름 완비화와 일치하며, 이는 $L^1_G(\Omega_T)$가 $\hat{\mathbb{E}}[\cdot]$ 하에서 $C_b(\Omega_T)$의 닫힘임을 보여준다.
• $L^1_G(\Omega)$의 모든 $X$에 대해 $G$-기대는 $\mathbb{E}[X] = \hat{\mathbb{E}}[X] = \sup_{P \in \mathscr{P}} E_P[X]$를 만족한다.
• $L_{ip}(\Omega)$의 $\mathbb{E}[\cdot]$-완비화는 $B_b(\Omega)$의 $\mathbb{E}[\cdot]$-완비화의 엄밀한 부분공간이므로, 함수 공간 완비화 간의 계층적 관계가 있음을 시사한다.
• 용량 $c(A)$와 $\bar{c}(A)$는 준연속성에 대해 동치이므로, 함수가 $c$-준연속이면 반드시 $\bar{c}$-준연속이며 그 반대도 성립한다.
• $G$-기대의 맥락에서 연속 수정을 위한 일반화된 콜모고로프 기준이 수립되었으며, 이는 고전 결과를 비선형 설정으로 확장한다.