[论文解读] Functorial destackification and weak factorization of orbifolds

Daniel Bergh, David Rydh|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对具有有限自同态的光滑、驯服的 Deligne–Mumford 叠的函子性去叠化过程，表明通过一系列在光滑中心处的叠化爆破，可以在不依赖嵌入奇异性的解析化的情况下实现稳定子的阿贝尔化。其关键贡献是一个适用于任意特征和相对情形的一般去叠化定理，扩展了先前的结果，并使得在驯服商奇异点的解析化以及轨道丛的弱因子分解方面得以应用。

ABSTRACT

Let X be a smooth and tame stack with finite inertia. We prove that there is a functorial sequence of blow-ups with smooth centers after which the stabilizers of X become abelian. Using this result, we can extend the destackification results of the first author to any smooth tame stack. We give applications to resolution of tame quotient singularities, prime-to-l alterations of singularities and weak factorization of Deligne-Mumford stacks. We also extend the abelianization result to infinite stabilizers in characteristic zero, generalizing earlier work of Reichstein-Youssin.

研究动机与目标

• 开发一种独立于嵌入奇异点解析化的光滑、驯服的 Deligne–Mumford 叠的函子性去叠化过程。
• 将稳定子的阿贝尔化推广至正特征和相对情形，克服先前结果的限制。
• 将 Reichstein–Youssin 的阿贝尔化结果推广至特征零下具有无限稳定子的叠。
• 为特征零下轨道丛的弱因子分解提供基础，基于去叠化技术。
• 统一并简化代数几何中奇异点解析化与叠化修改的现有方法。

提出的方法

• 构造一个在光滑中心处的叠化爆破（普通爆破与根叠）的函子性序列，以实现光滑、驯服叠的稳定子阿贝尔化。
• 利用余粗空间态射 $X \to X_{\text{cs}}$ 并分析刚化 $X' \to X'_{\text{rig}}$ 的结构，以控制杂种与根叠。
• 应用导出范畴与 $\operatorname{K}_0$-群的理论，证明对于有限驯服群概形，其在 $\operatorname{K}_0(\mathrm{B}G)$ 中的余切复形为平凡。
• 利用群概形 $G = \Delta \rtimes H$ 的结构，其中 $\Delta$ 为可对角化群，$H$ 为常值群，将问题约化为 $p$-主分量。
• 利用 $\operatorname{K}_0$-群在短正合序列上的可加性，并对初等因子的指数进行归纳，证明 $\operatorname{K}_0(\mathrm{B}H)$ 中类的消失性。
• 将结果应用于证明 $X'_{\text{rig}} \to X'_{\text{cs}}$ 是在简单横截相交除子上的迭代根叠，从而确保余粗空间的光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖嵌入奇异点解析化的情况下，通过叠化爆破的函子性序列，实现光滑、驯服的 Deligne–Mumford 叠的稳定子阿贝尔化？
• RQ2 当奇异点解析化失败时，去叠化过程是否可推广至正特征和相对情形？
• RQ3 当叠的堆栈支集位于简单横截相交除子中时，光滑叠的稳定子结构如何，即使其为非阿贝尔或无限稳定子？
• RQ4 能否在特征零下利用函子性去叠化建立轨道丛的弱因子分解？
• RQ5 在代数闭域上，有限驯服群概形的余切复形类在 $\operatorname{K}_0(\mathrm{B}G)$ 中何时消失？

主要发现

• 存在一个在光滑中心处的叠化爆破的函子性序列，可对任意具有有限自同态的光滑、驯服的 Deligne–Mumford 叠的稳定子实现阿贝尔化。
• 去叠化过程适用于任意特征和相对情形，推广了先前依赖特征零和嵌入奇异点解析化的结果。
• 所得叠 $X'$ 的余粗空间 $X'_{\text{cs}}$ 是光滑的，从而为原始余粗空间 $X_{\text{cs}}$ 提供了奇异点解析化。
• 态射 $X'_{\text{rig}} \to X'_{\text{cs}}$ 是在简单横截相交除子上的迭代根叠，确保与弱因子分解框架的兼容性。
• 该结果将 Reichstein–Youssin 的阿贝尔化定理推广至特征零下具有无限稳定子的情形，扩展了他们对有限群的工作。
• 在代数闭域上，有限驯服群概形的余切复形 $L_{\mathrm{B}G}$ 在 $\operatorname{K}_0(\mathrm{B}G)$ 中的类为零，这是证明中的关键技术工具。