[논문 리뷰] Fundamental groups of compact Kahler varieties with nef anti canonical bundle

Xin Fu, Bin Guo외 2명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 07.

Geometry and complex manifolds인용 수 0

한 줄 요약

Paun의 거의-Abelian 기본군 결과를 약간의 특이점을 가진 압축 Kähler 다양체에 대해 RCD 공간 방법과 Albanese 사상 담지성 surjectivity를 통해 확장; lc/klt 설정 및 3차 경우에서 거의-Abelian π1를 증명한다.

ABSTRACT

It is proved by M. Paun (1997, 2017) that the fundamental group of a compact Kahler manifold X is almost Abelian if the anti-canonical bundle -KX is nef. In this paper, we apply the recent geometric analytic theory of Kahler spaces developed by Guo-Phong-Song-Sturm to study fundamental groups of mildly singular compact Kahler varieties. We first extend Paun's result to log canonical pairs (X,Delta) with smooth X and nef -(KX+Delta) as well as to compact Kahler manifolds X with pseudo-effective -KX under a suitable assumption on the singularities of c1(-KX). We further prove that, for a 3-dimensional log canonical pair (X,Δ) with X being klt, pi 1(X) is almost Abelian if -(KX+Δ) is nef. Moreover, as one of the main ingredients for the proof of these results, we establish the surjectivity of the Albanese maps of compact normal complex varieties X in Fujiki class C that admits an effective R-divisor Δsuch that the pair (X,Δ) is log canonical with nef anti-log canonical divisor -(KX+Δ).This generalizes the corresponding theorems for projective varieties (Zhang, 2005), for klt pairs (Matsumura-Wang-Wu-Zhang, 2025) and for log smooth case (Fu-Han-Zou, 2025)

연구 동기 및 목표

• Paun의 거의-Abelian 기본군 결과를 nef −(KX+Δ)를 가진 로그canonical 쌍 (X, Δ)에 일반화한다.
• 적합한 특이성 조건 하에서 nef −KX를 가진 압축 Kähler 다양체에 프레임워크를 확장한다.
• Fujiki class C 다양체에서 lc 쌍과 nef −(KX+Δ) 하의 Albanese 사상 담지성을 확립한다.
• π1를 연구하기 위한 복합 기하학, 편偏 편미분방정식(PDE), 및 측정 공간 이론의 통일 전략을 제시한다.
• lc 경우를 아벨성에 관한 일반 추측 및 특수 다양체에 대한 보다 넓은 연결과 관련시키는다.]
• method: ["고정된 Kähler 계에서 Ricci 거의 비음수 Kähler 순환을 구성하여 X와 위상적으로 동형인 RCD 공간을 생성한다.", "RCD 공간에 대한 Méasure 이론의 Margulis 렘을 적용하여 π1의 가상 소가환성을 도출한다.", "특이 데이터와 함께 복합 Monge-Ampère 방정식을 이용하여 계량을 규칙화하고 RCD 공간으로의 수렴을 얻는다.", "lc 설정에서 Albanese 사상의 담지성을 Fujiki class C에서 알려진 투사성과 매끄러운 결과를 확장하여 증명한다.", "특이성을 제어하고 해석적 Nash형 규칙화를 가능하게 하기 위해 점근적으로 klt 클래스 이론을 활용한다."]
• research_questions':['compact klt Kähler 다양체에서 lc 쌍과 nef −(KX+Δ)일 때 π1(X)가 거의 Abelian으로 남는가?','lc 쌍과 nef −(KX+Δ)인 Fujiki class C 다양체에서 Albanese 사상이 담지성으로 나타나는가?','−KX가pseudo-effective일 때 어떤 특이성 가정 아래 π1(X)가 거의 Abelian으로 강제되는가?','RCD 공간 이론을 이용해 Paun류의 결과를 약간의 특이점을 가진 Kähler 공간으로 확장할 수 있는가?','lc 경우가 Kollár 및 Campana의 Abelianity conjectures와 어떤 관계를 가지는가?'],
• key_findings':['lc 조건과 nef −(KX+Δ) 가정하에 π1(X)가 거의 Abelian임(가정 1.4의 RCD 공간에 관한 conjecture가 성립할 경우).','X와 동형이면서 Ricci 거의 비음수인 RCD 공간의 구성에 의한 가상 소다항성으로 π1(X)가 가상 소다항이라는 결과.','X의 Albanese 사상은 lc Fujiki class C 설정에서 매끄러운 모형을 허용하며, 알려진 결과를 일반화하는 점에서 fibration 형태를 가진다.','차원 3에서 −(KX+Δ)의 네프성 가정만으로도 프로젝트성 가정 없이 거의-Abelian π1를 얻을 수 있다.','정리 1.3은 lc 쌍과 nef −(KX+Δ)를 가진 Fujiki class C의 특이한 X에 대한 Albanese 사상 담지성 결과를 확장한다.'],
• table_headers:
• table_rows:

제안 방법

• 고정된 Kähler 계에서 Ricci 거의 비음수 Kähler 순환을 구성하여 X와 위상적으로 동형인 RCD 공간을 생성한다.
• RCD 공간에 대한 Margulis 보조정리(Margulis lemma)를 이용해 π1의 가상 소완전성(virtually nilpotent)을 도출한다.
• 특이 데이터를 가진 복합 Monge-Ampère 방정식을 이용하여 계량을 규칙화하고 RCD 공간으로의 수렴을 얻는다.
• lc 설정에서 Albanese 사상의 담지성을 Fujiki class C에서 알려진 투사성과 매끄러운 결과를 확장하여 증명한다.
• 특이성을 제어하고 해석적 Nash형 규칙화를 가능하게 하기 위해 점근적으로 klt 클래스 이론을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 compact klt Kähler 다양체에서 lc 쌍과 nef −(KX+Δ)일 때 π1(X)가 거의 Abelian으로 남는가?
• RQ2 lc 쌍과 nef −(KX+Δ)인 Fujiki class C 다양체에서 Albanese 사상이 담지성으로 나타나는가?
• RQ3 −KX가pseudo-effective일 때 어떤 특이성 가정 아래 π1(X)가 거의 Abelian으로 강제되는가?
• RQ4 RCD 공간 이론을 이용해 Paun류의 결과를 약간의 특이점을 가진 Kähler 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 lc 경우가 Kollár 및 Campana의 Abelianity conjectures와 어떤 관계를 가지는가?

주요 결과

• π1(X) is almost Abelian under lc conditions and nef −(KX+Δ) provided Conjecture 1.4 on RCD spaces holds.
• π1(X) is virtually nilpotent via a construction of Ricci almost nonnegative RCD spaces homeomorphic to X.
• The Albanese map of X admits a smooth model that is a fibration in the lc Fujiki class C setting, generalizing known results.
• In dimension three, the nefness assumption on −(KX+Δ) yields almost-Abelian π1 without assuming projectivity.
• Theorem 1.3 extends surjectivity results for Albanese maps to singular X in Fujiki class C with lc pairs and nef −(KX+Δ).