[논문 리뷰] Further results on Hilbert's Tenth Problem

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 12.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다항방정식이 정수에서 11개의 변수를 가질 때 힐버트의 제10 문제의 결정불가성을 입증하며, 그러한 방정식이 정수해를 가지는지 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 보여준다. 또한 모든 변수가 완전제곱수여야 할 조건에서 17개의 변수를 가진 방정식의 해가 존재하는지 테스트할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하고, 정수 제곱수에서의 비음수 값이 정확히 소수의 집합과 일치하는 20개의 변수를 가진 다항식을 구성한다.

ABSTRACT

Hilbert's Tenth Problem (HTP) asks for an algorithm to test whether an arbitrary polynomial Diophantine equation with integer coefficients has solutions over the ring $\mathbb Z$ of the integers. This was finally solved by Matiyasevich negatively in 1970. In this paper we obtain some further results on HTP over $\mathbb Z$. We prove that there is no algorithm to determine for any $P(z_1,\ldots,z_9)\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_9]$ whether the equation $P(z_1,\ldots,z_9)=0$ has integral solutions with $z_9\ge0$. Consequently, there is no algorithm to test whether an arbitrary polynomial Diophantine equation $P(z_1,\ldots,z_{11})=0$ (with integer coefficients) in 11 unknowns has integral solutions, which provides the best record on the original HTP over $\mathbb Z$. We also prove that there is no algorithm to test for any $P(z_1,\ldots,z_{17})\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_{17}]$ whether $P(z_1^2,\ldots,z_{17}^2)=0$ has integral solutions, and that there is a polynomial $Q(z_1,\ldots,z_{20})\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_{20}]$ such that $$\{Q(z_1^2,\ldots,z_{20}^2):\ z_1,\ldots,z_{20}\in\mathbb Z\}\cap\{0,1,2,\ldots\}$$ coincides with the set of all primes.

연구 동기 및 목표

• 정수에서 힐버트의 제10 문제의 결정불가성에 필요한 최소 변수 수를 규명하는 것.
• 비음수 또는 제곱수 값 변수와 같은 제약 조건 하에서 디오판틴 방정식의 결정 가능성에 대해 조사하는 것.
• 정수 제곱수에서의 이미지가 정확히 소수의 집합과 일치하는 다항식을 구성하는 것.
• 특히 비재귀적인 재귀적으로 열거 가능한 집합에 대한 디오판틴 표현의 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 모든 재귀적으로 열거 가능한 집합이 디오판틴임을 보여주는 미아티아세비치의 정리를 활용하여, 비재귀적인 재귀적으로 열거 가능한 집합을 지수 디오판틴 표현을 통해 표현한다.
• 푸타넘의 기교를 적용: 임의의 다항식 $ P(x) $에 대해 집합 $ \{x \in \mathbb{N} : P(x) = 0\} $ 은 $ \mathbb{N} \cap \{(x+1)(1 - P(x)^2) - 1 : x \in \mathbb{N}\} $ 와 동일하며, 이는 해 집합의 변환을 가능하게 한다.
• 라그랑주의 네 제곱수 정리와 일반화된 다각수 정리(예: 8각수, 삼각수, 오각수)를 활용하여 변수를 재매개변수화하고 해의 공간 제약 조건을 줄인다.
• 정수 제곱수 $ z_i^2 $ 에서의 비음수 값이 정확히 소수와 일치하는 20변수 다항식 $ \hat{P}(z_1, \dots, z_{20}) $ 를 구성한다.
• 비음수 및 제곱수 변수를 디오판틴 표현을 통해 인코딩하여 결정불가성 다항방정식의 변수 수를 줄였다.
• 9개 미지수 결과를 변수 치환과 수론적 항등식을 조합하여, $ z_9 \geq 0 $ 조건이 있는 11변수 방정식과 모든 변수가 제곱수인 17변수 방정식의 결정불가성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수에서 결정불가성에 필요한 최소 변수 수는 얼마이며, 이 한계를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 한 변수가 비음수일 조건에서 11개의 변수를 가진 디오판틴 방정식이 정수해를 가지는지 여부를 판단하는 것은 결정불가한가?
• RQ3 모든 변수가 완전제곱수로 제한될 경우 힐버트의 제10 문제의 결정불가성이 유지되는가?
• RQ4 유한 개의 변수를 가진 다항식이 존재하여, 정수 제곱수에서의 이미지가 정확히 소수의 집합과 일치하는가?

주요 결과

• 정수해를 가지며 $ z_9 \geq 0 $ 인 다항방정식 $ P(z_1, \dots, z_9) = 0 $ 가 존재하는지 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않으며, 이는 힐버트의 제10 문제가 11개 변수에서 결정불가임을 의미한다.
• 모든 변수가 제곱수여야 하는 조건에서 $ P(z_1^2, \dots, z_{17}^2) = 0 $ 이 정수해를 가지는지 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않으며, 이는 제곱수 제약 조건 하에서도 결정불가성이 유지됨을 보여준다.
• 정수 제곱수 $ z_1, \dots, z_{20} \in \mathbb{Z} $ 에서의 값 $ \{ \hat{P}(z_1^2, \dots, z_{20}^2) : z_1, \dots, z_{20} \in \mathbb{Z} \} \cap \{0,1,2,\dots\} $ 이 정확히 소수의 집합과 일치하는 20변수 다항식 $ \hat{P}(z_1, \dots, z_{20}) \in \mathbb{Z}[z_1, \dots, z_{20}] $ 가 존재한다.
• 변수가 제곱수임을 조건으로 하여 소수의 집합은 정수의 환에서 디오판틴이며, 20변수 다항식을 통해 표현된다.
• 논문은 9개의 미지수 결과를 확장하여, 한 변수가 비음수일 조건에서 11변수 방정식의 결정불가성을 입증함으로써, 결정불가성에 필요한 변수 수의 알려진 한계를 향상시켰다.
• 푸타넘의 기교와 수론적 항등식(예: 네 제곱수의 합, 일반화된 8각수)을 사용하여 비음수 및 제곱수 값을 디오판틴 방정식에 인코딩하는 데에 사용되었다.