[논문 리뷰] Further results on some classes of permutation polynomials over finite fields

Xiaogang Liu|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Coding theory and cryptography참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 순열 다항식에 관한 최근 연구를 확장하여 기존의 클래스를 일반화하고 계수, 지수, 체 확장의 수정을 통해 새로운 클래스를 구성한다. AGW 기준과 추적 함수 기법을 사용하여, $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위의 특정 다변수 삼항식과 단항식이 노름 및 추적 조건을 포함한 명시적 대수적 조건 하에서 순열 다항식임을 증명한다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_q$ denote the finite fields with $q$ elements. The permutation behavior of several classes of infinite families of permutation polynomials over finite fields have been studied in recent years. In this paper, we continue with their studies, and get some further results about the permutation properties of the permutation polynomials. Also, some new classes of permutation polynomials are constructed. For these, we alter the coefficients, exponents or the underlying fields, etc.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위에서 순열 다항식의 알려진 클래스를 일반화하고 확장하는 것, 특히 $f(x) = (x^{q^k} + x + \theta)^s + cx$ 형태의 다항식에 초점 맞추기.
• 계수, 지수 또는 기초 유한체 확장의 변경을 통해 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 새로운 순열 다항식 클래스를 구성하는 것.
• 다변수 삼항식과 단항식이 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 순열 다항식이 되는 데 필요한 충분한 조건을 제공하는 것.
• AGW 기준과 추적 함수 기반 방법을 적용하여 새로운 매개변수 영역에서 순열 행동을 증명하는 것.
• 매개변수 $\delta$ 및 $c$에 대한 제약 조건을 완화하고 [22] 및 [11]의 결과를 고차수 확장으로 일반화함으로써 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• Lemma 1 및 Lemma 2에 기반한 AGW 기준을 적용하여 $x^{q^k} + x + \theta$ 및 $x^{q^k} - x + \theta$를 포함하는 다항식의 순열 행동을 변환한다.
• 최대공약수와 곱셈군의 구조에 기반한 Lemma 3을 사용하여 $ﶺckslashmathbb{F}_{q^n}$ 위에서의 순열 테스트를 $d$차 단위근의 부분군 $\mu_d$ 위에서의 테스트로 축소한다.
• 2차 방정식의 해를 분석하기 위해 Lemma 4를 활용하여, 특히 단위원 위에서의 해를 분석함으로써 순열 행동을 확인하는 조건을 검증한다.
• 선형 다항식이 유일한 근을 가지도록 보장하기 위해 노름 기반 조건 $1 + N(b)(u^{q^2} + u^q + u + 1) + N(a) \neq 0$ (Lemma 7)를 도입한다.
• 대수적 간소화가 부족한 경우 순열 성질을 검증하기 위해 기호 계산 및 결과식 방법을 적용한다.
• Magma 소프트웨어를 사용하여, $a^{73} \neq 1$ 및 $a,b$에 대한 노름 조건을 포함한 특정 조건 하에서 순열 다항식의 예를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\theta \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 및 $c \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^m}^*$에 대해 다항식 $f(x) = (x^{2^m} + x + \theta)^{2^{2m}+1} + cx$ 는 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 순열 다항식인가?
• RQ2 기존 [22]의 조건을 어떻게 일반화하여 $\delta \in \ufdbackslashmathbb{F}_{q^n}$ 이 임의로 허용되도록 하면서도 순열 행동을 유지할 수 있는가?
• RQ3 계수와 지수에 어떤 수정을 가하면 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 새로운 순열 다항식 클래스를 얻을 수 있는가?
• RQ4 다항식 $f(x) = x^r (x^{2^{2m}} + b x^{2^m} + a x + \delta)^{s(2^{2m}+2^m+1)}$ 는 언제 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 순열 다항식이 되는가?
• RQ5 노름 및 추적 조건이 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 선형 다항식이 유일한 근을 가지도록 보장하는 데 어떤 역할을 하는가? 이는 순열 다항식 구성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 $\theta \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 및 $c \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^m}^*$에 대해 다항식 $f(x) = (x^{2^m} + x + \theta)^{2^{2m}+1} + cx$ 는 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 순열 다항식이며, 이는 [22]의 결과를 일반화한다.
• 다항식 $f(x) = x^r (x^{2^{2m}} + b x^{2^m} + a x + \delta)^{s(2^{2m}+2^m+1)}$ 는 $\gcd(r, 2^{3m}-1) = 1$, $a^{2^{2m}+2^m+1} + 1 \neq 0$, 그리고 $\left(\frac{a^{2^{2m}}b^{2^m} + a^{2^{2m}+2^m}b + b^{2^{2m}}}{a^{2^{2m}+2^m+1}+1}\right)^{2^{2m}+2^m+1} \neq 1$ 를 만족할 경우 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 위에서 순열 다항식이다.
• 특수한 경우 $a^{2^{2m}+2^m+1} + 1 = 0$ 에서도 $a^{2^{2m}}b^{2^m} + a^{2^{2m}+2^m}b + b^{2^{2m}} \neq 0$ 이면, $r$에 대한 최대공약수 조건 하에서 다항식은 여전히 순열 다항식이다.
• 선형 다항식 $L(x) = a x + b x^{2^m} + x^{2^{2m}}$ 는 $1 + N(b)(u^{q^2} + u^q + u + 1) + N(a) \neq 0$ 를 만족할 경우 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 에 정확히 하나의 근을 가진다. 여기서 $u = a^{2^m}/b^{2^m+1}$ 이다.
• 예제 7은 Magma를 통해 $f(x) = x^4 (x^{56} + a x^7 + 1)^{219}$ 이 $a^{73} \neq 1$ 이고 $\left(\frac{a^{64} + a^{72} + 1}{a^{73}}\right)^{73} \neq 1$ 를 만족할 경우 $ﶺckslashmathbb{F}_{2^9}$ 위에서 순열 다항식임을 확인한다.
• 예제 8은 $f(x) = x^6 (x^{48} + x^{12} + a x)^{63}$ 이 $a = \omega^{21}, \omega^{42}$ 인 경우, $\omega$ 가 $ﶺckslashmathbb{F}_{64}$ 의 원시 원소일 때 $ﶺckslashmathbb{F}_{64}$ 위에서 순열 다항식임을 검증한다.