[논문 리뷰] Further results on the 2-adic complexity of a class of balanced generalized cyclotomic sequences

Chun'e Zhao, Yuhua Sun외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 주기 $pq$인 균형 잡힌 Whiteman 일반화 순환수열의 2진 복잡도에 비잔성 하한을 설정하며, 이는 최소 $pq - p - q - 1$임을 보여주고, 이는 반기보다 크며 적절한 매개변수 조건 하에 최대임을 입증한다. 이 방법은 순열에서 유도된 순환행렬의 행렬식을 계산하고, $2^N - 1$과의 최대공약수를 분석함으로써, 유리근사알고리즘(RAA)에 대한 저항성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, the 2-adic complexity of a class of balanced Whiteman generalized cyclotomic sequences of period $pq$ is considered. Through calculating the determinant of the circulant matrix constructed by one of these sequences, we derive a lower bound on the 2-adic complexity of the corresponding sequence, which further expands our previous work (Zhao C, Sun Y and Yan T. Study on 2-adic complexity of a class of balanced generalized cyclotomic sequences. Journal of Cryptologic Research,6(4):455-462, 2019). The result shows that the 2-adic complexity of this class of sequences is large enough to resist the attack of the rational approximation algorithm(RAA) for feedback with carry shift registers(FCSRs), i.e., it is in fact lower bounded by $pq-p-q-1$, which is far larger than one half of the period of the sequences. Particularly, the 2-adic complexity is maximal if suitable parameters are chosen.

연구 동기 및 목표

• 주기 $N = pq$인 균형 잡힌 Whiteman 일반화 순환수열의 2진 복잡도를 분석하는 것.
• 이 수열들이 낮은 2진 복잡도 수열을 해독하는 데 사용되는 유리근사알고리즘(RAA)에 대해 여전히 안전한지 확인하는 것.
• 순환행렬의 행렬식 분석을 통해 이전의 2진 복잡도 연구를 보완하여 더 강력한 하한을 제공하는 것.
• 이 수열의 2진 복잡도가 최대값에 도달하는 조건을 조사하는 것.

제안 방법

• 주기 $N = pq$인 이진수열에서 순환행렬 $A$를 구성한다.
• 2진 복잡도 평가의 핵심 요소로 행렬식 $\mathrm{det}(A)$를 계산한다.
• $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1)$를 분석하여 공식 $\varphi_2(s) = \lfloor \log_2(n+1) \rfloor$를 통해 2진 복잡도를 유계화한다. 여기서 $n$은 $S(2)/(2^N - 1)$를 기약분수로 표현했을 때의 분모이다.
• 모듈로 $p$와 $q$에서의 가우스 주기 및 순환류의 성질을 이용하여 $\mathrm{det}(A)$와 $2^N - 1$의 최대공약수에 대한 대수적 표현을 유도한다.
• 곱셈적 순서 $\mathrm{Ord}_r(2)$와 $2^N - 1$의 소인수 분해를 포함한 수론 기법을 적용하여 $2^N - 1$의 모든 소인수 $r$에 대해 최대공약수를 평가한다.
• $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1) = 1$임을 적절한 매개변수 조건 하에 증명함으로써, 최대 2진 복잡도 $\varphi_2(s) = N$에 도달함을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기 $pq$인 균형 잡힌 Whiteman 일반화 순환수열의 2진 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 2진 복잡도가 반기보다 큰 값으로 하한이 설정될 수 있는가? 이는 RAA에 대한 저항성을 보장하는가?
• RQ3 이 수열의 2진 복잡도가 최대가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 수열에서 유도된 순환행렬의 행렬식은 2진 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 연구된 균형 잡힌 Whiteman 일반화 순환수열의 2진 복잡도는 $pq - p - q - 1$로 하한이 설정되며, 이는 주기 $N = pq$의 반보다 훨씬 크다.
• 특정 매개변수 조건, 예를 들어 $p \equiv 1 \pmod{4}$, $q \equiv 3 \pmod{4}$, $q - p = 2$일 경우, 2진 복잡도는 최대값인 $\varphi_2(s) = N$에 도달한다.
• 적절한 조건 하에서 순환행렬의 행렬식은 $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1) = 1$를 만족하며, 이는 최대 2진 복잡도를 의미한다.
• Mathematica와 MATLAB을 사용한 수치적 검증 결과, $(p,q) = (5,3), (5,7), (5,11), (13,11), (17,11), \dots$의 모든 테스트 케이스에서 정확한 2진 복잡도가 상한 $N$과 일치함을 확인하였으며, 이는 최대성의 보편성에 대한 강력한 근거를 제공한다.
• 결과적으로 이 수열들은 2진 복잡도가 보안을 확보하기 위해 요구되는 $N/2$ 이하를 초월하므로, 유리근사알고리즘(RAA)에 대해 안전함을 확인한다.
• 저자들은 모든 유효한 매개변수 쌍에 대해 2진 복잡도가 최대임을 추측하지만, 일반적인 증명은 아직 남아있다.