[논문 리뷰] Fuzzy functions and an extension of the category L-Top of Chang-Goguen L-topological spaces

Alexander Šostak|ArXiv.org|2002. 04. 10.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전통적인 사상 대신 퍼지 함수—일반화된 사상인 L-관계 F:X×Y→L—를 사용하여 찬-고건 L-위상공간의 확장인 퍼지 범주 𝒻TOP(L)를 제안한다. 이는 𝒻TOP(L)의 상위 프레임이 퍼지 집합 범주 𝒻SET(L)⊤ 위의 위상적 범주임을 증명하고, (α,β)-콤팩트성은 (α,γ)-완전한 퍼지 함수에 의해 유지됨을 보이며, 기존 위상수학에서의 콤팩트성 유지 개념을 일반화한다.

ABSTRACT

We study FTOP(L), a fuzzy category with fuzzy functions in the role of morphisms. This category has the same objects as the category L-TOP of Chang-Goguen L-topological spaces,but an essentially wider class of morphisms - so called fuzzy functions introduced earlier in our joint work with U. Hohle and H. Porst.

연구 동기 및 목표

• 창-고건 L-위상공간의 범주 L-TOP를 퍼지 함수를 사상으로 도입하여 확장하는 것.
• 퍼지 집합 범주 𝒻SET(L)⊤ 위의 위상적 범주로서의 퍼지 범주 𝒻TOP(L)를 확립하는 것.
• 특히 (α,β)-완전한 퍼지 함수 개념을 통해 퍼지 함수에 의한 (α,β)-콤팩트성의 유지 여부를 조사하는 것.
• L-값을 갖는 논리와 GL-모노이드를 사용하여 기존 위상수학의 콤팩트성 정리들을 퍼지 환경으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 크리프 함수를 일반화하는 L-관계 F:X×Y→L로 퍼지 함수를 정의하고, 소속도 조건 μ(F)=⊤ 및 지지도 조건 σ(F)=⊤를 설정한다.
• GL-모노이드의 구조와 L-값을 갖는 집합의 구조를 이용하여 퍼지 함수를 사상으로 하는 퍼지 범주 𝒻SET(L)를 구성한다.
• 객체가 찬-고건 L-위상공간이고 사상이 연속적인 퍼지 함수인, 𝒻SET(L)의 부분범주로서 𝒻TOP(L)를 정의한다.
• 상위 프레임 𝒻TOP(L)⊤을 정의하고, 初기 올림(initial lifts)과 구조 보존을 통해 𝒻SET(L)⊤ 위의 위상적 범주임을 증명한다.
• 모든 닫힌 L-집합의 가족과 그 만남 조건이 레이스 L 내에서 만족되는 방식으로 L-집합의 (α,β)-콤팩트성 정의한다.
• (α,β)-완전한 퍼지 함수를 연속적이고 닫힌 사상이며, 각 점의 원상이 (α,β)-콤팩트 L-집합인 사상으로 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 창-고건 L-위상공간의 범주 L-TOP는 퍼지 함수를 사상으로 하여 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 퍼지 범주 𝒻TOP(L)의 상위 프레임은 퍼지 집합 범주 𝒻SET(L)⊤ 위의 위상적 범주인가?
• RQ3 퍼지 함수에 의한 원상에 있어서 (α,β)-콤팩트성이 어떤 조건에서 유지되는가?
• RQ4 기존 위상수학의 콤팩트성 정리들은 퍼지 함수와 L-값 논리를 사용하여 어떻게 퍼지 환경으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 상위 프레임 𝒻TOP(L)⊤는 𝒻SET(L)⊤ 위의 위상적 범주이며, 이는 구조화된 가족에 대해 初기 올림을 갖는다는 의미이다.
• F:(X,E_X,τ_X)→(Y,E_Y,τ_Y)가 μ(F)=⊤ 및 σ(F)=⊤인 (α,γ)-완전한 퍼지 함수이고 Y가 (γ,β)-콤팩트이면, X는 (α,β)-콤팩트이다.
• MV-대수 L의 경우, L-위상공간의 (α,β)-콤팩트성은 닫힌 L-집합의 가족에 대해 다음과 같은 조건으로 특징지어진다: 모든 유한한 부분가족의 만남이 βᶜ 이하가 아니면, 전체 가족의 만남도 αᶜ 이하가 아니어야 한다.
• 퍼지 함수 F에 의한 점 y₀∈Y의 원상 F←(y₀)가 (α,β)-콤팩트임은, 모든 유한한 부분가족에 대해 F(x,y₀)와 닫힌 집합의 합과 만남의 포함 관계가 성립하는 조건과 동치이다.
• (α,β)-완전한 퍼지 함수의 클래스는 도메인에서 코디메인으로의 콤팩트성 유지 보장을 보장한다.
• 증명은 MV-대수의 인보리션과 드 모르간 대칭성을 활용하여 콤팩트성 조건을 격자 이론적 함의로 변환한다.