[论文解读] Galois equivariance of critical values of $L$-functions for unitary groups

Lucio Guerberoff, Jie Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了关于单位群上共轭自守表示的L函数临界值与全模自守形式的Petersson范数之间关系的Galois等变精化公式。通过将Galois作用纳入加倍法，并分析阿代尔zeta积分与CM周期，作者证明了这些特殊值在Galois共轭下不变，仅相差代数因子，从而确认了其与Deligne关于临界值的猜想的一致性。

ABSTRACT

The goal of this paper is to provide a refinement of a formula proved by the first author which expresses some critical values of automorphic $L$-functions on unitary groups as Petersson norms of automorphic forms. Here we provide a Galois equivariant version of the formula. We also give some applications to special values of automorphic representations of $\GL_{n} imes\GL_{1}$. We show that our results are compatible with Deligne's conjecture.

研究动机与目标

• 通过使公式在Galois作用下保持等变，精化先前将临界L值表达为自守形式Petersson范数的公式。
• 分析在加倍法中出现的zeta积分在Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})作用下的行为。
• 引入辅助Hecke特征标，并证明特殊值在Galois共轭下正确变换。
• 验证精化后的公式与Deligne关于动机临界值的猜想的一致性。

提出的方法

• 使用加倍法将L函数与涉及Eisenstein级数和自守形式的zeta积分联系起来。
• 分析阿代尔zeta积分Z_\infty(m;\pi,\psi,\alpha)，证明其属于F^{\operatorname{Gal}}，但必须包含在Galois等变公式中。
• 引入修正后的周期Q(\pi,\psi)，作为\pi \otimes \psi中算术向量的Petersson范数的倒数，其在Galois作用下等变变换。
• 引入Artin动机周期\delta[\varepsilon_F]，其定义在\mathbb{Q}^\times意义下，属于F^{\operatorname{Gal}}，并贡献于Galois结构。
• 建立未ramified局部表示的Galois共轭与基变换之间的交换性，全局推广至自守表示。
• 利用局部与全局基变换相容性，将单位群上的表示与GL_n上的表示联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使将临界L值表达为Petersson范数的公式实现Galois等变？
• RQ2 Galois共轭下阿代尔zeta积分的行为如何？其对特殊值公式有何影响？
• RQ3 CM周期与二次周期在Galois作用下如何变换？能否将其组合为Galois不变表达式？
• RQ4 精化后的临界L值公式是否满足Deligne关于动机临界值猜想的预期？
• RQ5 Galois共轭自守表示的基变换是否同构于该表示基变换的Galois共轭？

主要发现

• 临界L值L^S(m - \frac{n-1}{2}, \pi \otimes \psi, \operatorname{St})与逆Petersson范数Q(\pi, \psi)之间存在Galois等变关系，仅相差E(\pi, \psi)中的元素，而非E(\pi, \psi) \otimes F^{\operatorname{Gal}}中的元素。
• 尽管阿代尔zeta积分Z_\infty(m;\pi,\psi,\alpha)属于F^{\operatorname{Gal}}，但其在Galois等变公式中不可或缺，不可忽略。
• 与二次扩张F/F^+相关的周期\delta[\varepsilon_F]在\mathbb{Q}^\times意义下Galois不变，并贡献于特殊值公式。
• 该公式与Deligne猜想相容：临界值属于E(\pi, \psi)，且在2\pi i的幂次意义下为代数数，符合要求。
• Galois共轭自守表示^\sigma\pi的基变换同构于\pi的基变换的Galois共轭，即BC(^\sigma\pi) \cong {}^\sigma(BC(\pi))。
• 精化后的公式将临界L值表达为\sim_{E(\pi,\psi)} (2\pi i)^{[F^+ among others, 其中Galois作用在代数因子中已完全考虑。