[논문 리뷰] Galois groups over rational function fields and explicit Hilbert irreducibility

David Krumm, Nicole Sutherland|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Q[t,x]에 속하는 다항식에 대해 일반적인 경우와 다를 바 있는 갈루아 군 또는 인수분해를 보이는 유리수 특수화의 예외적 집합을 결정하기 위한 명시적 계산 방법을 개발한다. 갈루아 군 이론과 유리점 계산을 통해 대수적 곡선을 구성함으로써, 저자들은 예외적 값들을 체계적으로 식별하는 방법을 제공하며, 세 가지 예제를 통해 이를 설명하고, 유리 함수의 주기점에 관한 산술 동역학 분야에서 새로운 결과를 증명하는 데 응용한다.

ABSTRACT

Let $P\in\mathbb Q[t,x]$ be a polynomial in two variables with rational coefficients, and let $G$ be the Galois group of $P$ over the field $\mathbb Q(t)$. It follows from Hilbert's Irreducibility Theorem that for most rational numbers $c$ the specialized polynomial $P(c,x)$ has Galois group isomorphic to $G$ and factors in the same way as $P$. In this paper we discuss methods for computing the group $G$ and obtaining an explicit description of the exceptional numbers $c$, i.e., those for which $P(c,x)$ has Galois group different from $G$ or factors differently from $P$. To illustrate the methods we determine the exceptional specializations of three sample polynomials. In addition, we apply our techniques to prove a new result in arithmetic dynamics.

연구 동기 및 목표

• Q(t) 위에서 다항식 P의 일반 갈루아 군 G와 다를 경우인 유리수 c ∈ Q에 대해 P(c,x)의 갈루아 군이 일반 갈루아 군과 다를 수 있는 예외적 집합을 계산하기 위한 명시적 알고리즘을 개발하는 것.
• 기존의 힐버트의 기약성 정리 기법을 함수체 위의 분해 가능 다항식으로 확장하여, 예외적 값의 유한한 집합을 명시적으로 제공하고, 예외적 점들을 정의하는 곡선을 제시하는 것.
• 유한 및 무한 예외적 집합을 가진 다항식을 포함한 구체적 예제에 이 방법을 적용하고, 유리 함수의 주기점에 관한 산술 동역학 분야에서 새로운 결과를 증명하는 것.
• 수론적 맥락에서 예외적 특수화를 완전히 특성화하기 위해 계산 기반 갈루아 이론과 곡선 위의 유리점 계산을 조합하는 것이 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• 힐버트의 기약성 정리의 구성적 증명을 이용하여 갈루아 군 G의 각 최대부분군 Mi에 대해 고정체 Fi와 Q(t) 위에서 Fi를 생성하는 모닉 기약 다항식 fi(t,x)를 연결한다.
• 예외적 집합 E(P)를, 어떤 fi(t,x)의 유리수 근이면서, 판별식 ∆(c) 또는 최고차계수 ℓ(c)가 0이 되지 않는 유리수 c의 집합으로 정의한다.
• Magma에 구현된 Fieker와 Klüners의 방법을 확장하여 Q(t) 위에서 P의 갈루아 군 G를 계산한다. 이는 분해 가능 다항식으로도 확장된다.
• Cannon과 Holt의 알고리즘을 사용하여 G의 모든 최대부분군 Mi를 식별하고, 알려진 체 이론 기법을 통해 고정체를 계산한다.
• 예외적 특수화를 찾는 문제를, fi(t,x) = 0으로 정의된 대수적 곡선 위의 유리점 결정 문제로 환원한다. 이는 곡선의 유리점 계산에 사용 가능한 기법을 활용한다.
• Magma의 내장 함수 HilbertIrreducibilityCurves를 활용하여 곡선 Ci의 정의 방정식을 자동으로 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 P(c,x)의 갈루아 군이 Q(t) 위에서 P의 일반 갈루아 군 G와 다를 경우가 되는 유리수 c의 전체 집합은 무엇인가?
• RQ2 어떤 유리수 값 c에 대해 다항식 P(c,x)가 P(t,x)와 다르게 인수분해되며, 이러한 값들은 어떻게 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 예외적 집합이 무한할 경우조차도 대수적 곡선과 유리점 계산을 통해 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ4 함수체 위에서의 계산 기반 갈루아 이론은 어떻게 분해 가능 다항식을 다룰 수 있도록 확장할 수 있으며, 이를 수론 문제에 적용할 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 사용하여 p진 수체에서 주기점의 분포와 같은 산술 동역학 분야에서 새로운 결과를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• P(t,x) = x^6 + t^6 - 1에 대해, Pc가 분해 가능해지는 오직 c = 0, ±1인 경우만 존재하여 유한한 예외적 집합을 이룬다.
• P(t,x) = x^6 - 4x^2 - t^2에 대해, c = (v^4 + 16)/(8v) (v ∈ Q) 형태의 무한한 예외적 c 가족이 존재하며, 이 경우 Pc는 두 개의 기약 세차다항식의 곱으로 분해된다.
• P(t,x) = 3x^4 - 4x^3 + 1 + 3t^2에 대해 예외적 집합은 무한하며, c = (v^3 - 9v)/(9(1 - v^2)) (v ∈ Q)로 매개변수화되며, Gc는 v에 따라 A4, (Z/2Z)^2, 또는 Z/2Z와 동형이 된다.
• P(t,x) = t^4x^3 + a(t)x^2 + b(t)x + c(t)에 대해, 예외적 집합 E(P)는 피카르드-홈스의 정리에 의해 정의된 종수 4 및 5 곡선을 고려할 때 유한하다.
• 이 방법은 모든 유한한 k ∈ Q에 대해, 적어도 Dirichlet 밀도로 1/3 이상의 소수 p에 대해 Qp에서 φk,b(z) = kz + b/z가 주기 5인 점을 가지지 않음을 증명하며, Manes의 유한성 결과를 확장한다.
• 알고리즘은 Q(t) 위에서 분해 가능 다항식의 갈루아 군과 고정체를 성공적으로 계산하며, Φ5의 차수 30인 원분 다항식의 경우에도 적용 가능하지만, 고차수의 인덱스를 가진 부분군에 대해 고정체 계산은 여전히 계산적으로 불가능하다.