[논문 리뷰] Galois theory for Hopf algebroids

Gabriella Böhm|ArXiv.org|2004. 09. 27.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 힉프 대수의 고전적 갈루아 대응을 힉프 알geb로이드의 맥락으로 일반화하여, 힉프 알geb로이드에 대한 갈루아 이론을 수립한다. 유한 생성 프로젝티브 힉프 알geb로이드이자 쌍대사상이 전단사인 경우, 정규화 사상의 상사상이 갈루아 성질을 함의하며, 쌍대사상이 전단사일 때 왼쪽과 오른쪽 갈루아 조건이 일치함을 보이며, 크라이머-타케우치와 도이의 결과를 비가환 기저 대수로 확장한다.

ABSTRACT

An extension B\subset A of algebras over a commutative ring k is an H-extension for an L-bialgebroid H if A is an H-comodule algebra and B is the subalgebra of its coinvariants. It is H-Galois if the canonical map A\otimes_B A o A\otimes_L H is an isomorphism or, equivalently, if the canonical coring (A\otimes_L H:A) is a Galois coring. In the case of a Hopf algebroid H=(H_L,H_R,S) any H_R-extension is shown to be also an H_L-extension. If the antipode is bijective then also the notions of H_R-Galois extensions and of H_L-Galois extensions are proven to coincide. Results about bijective entwining structures are extended to entwining structures over non-commutative algebras in order to prove a Kreimer-Takeuchi type theorem for a finitely generated projective Hopf algebroid H with bijective antipode. It states that any H-Galois extension B\subset A is projective, and if A is k-flat then already the surjectivity of the canonical map implies the Galois property. The Morita theory, developed for corings by Caenepeel, Vercruysse and Wang, is applied to obtain equivalent criteria for the Galois property of Hopf algebroid extensions. This leads to Hopf algebroid analogues of results for Hopf algebra extensions by Doi and, in the case of Frobenius Hopf algebroids, by Cohen, Fishman and Montgomery.

연구 동기 및 목표

• 히프 대수에서의 갈루아 이론을 힉프 알geb로이드로 확장하고, 특히 비가환 기저 대수의 맥락에서 이를 다루는 것.
• 유한 생성 프로젝티브 조건과 전단사 쌍대사상 조건 하에서 정규화 사상의 상사상이 전단사성과 프로젝티브성을 함의함을 증명함으로써 크라이머-타케우치 정리를 힉프 알geb로이드로 일반화하는 것.
• 표준 코링과 엔트윙잉 구조를 사용하여, 힉프 알geb로이드 맥락에서 모리타 이론 기반의 갈루아 확장 기준을 통합하고 확장하는 것.
• 쌍대사상이 전단사일 경우 왼쪽과 오른쪽 갈루아 확장 간의 동치를 확립함으로써, 힉프 알geb로이드 이론에서 핵심적인 대칭성 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 히프 알geb로이드의 왼쪽 및 오른쪽 이중알geb로이드 성분에 대해 호모모듈러스가 일치하는 구조를 갖는 대수로, 상호 간에 코어선형성을 갖는 코액션을 갖는 호모모듈러스 대수를 정의한다.
• 표준 코링 $ A \bigotimes_L \bH $ 를 도입하고, 그 갈루아 성질을 사용하여 $ \bH $-갈루아 확장을 특성화한다.
• 코링에 대한 모리타 이론을 적용하여 갈루아 성질에 대한 등가 조건을 도출하며, 도이의 결과와 코HEN-피시만-몬고메리의 결과를 힉프 알geb로이드 맥락으로 일반화한다.
• 비가환 대수 위에서의 엔트윙잉 구조를 사용하여 전단사 엔트윙잉 사상에 대한 추론을 확장함으로써, 크라이머-타케우치 정리의 일반화를 가능하게 한다.
• 프로베니우스 힉프 알geb로이드 $ \bH $ 에서 비퇴화된 왼쪽 적분이 존재하면, 표준 구조와 동치인 모리타 컨텍스트를 구성할 수 있으며, 이는 정규화 사상의 상사상 기준을 이끌어낸다.
• 표준 쌍대사상 $ \bH $ 와 그 $ A $-쌍대 $ {}^*\bH $ 간의 대칭성을 활용하여, 스매시 프로덕트 대수 $ {}^*\bH \rtimes A $ 의 구조와 갈루아 성질을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히프 알geb로이드 확장 $ B \to A $ 에서 정규화 사상 $ A \bigotimes_B A \to A \bigotimes_L \bH $ 의 상사상이 전단사일 조건은 무엇인가?
• RQ2 히프 알geb로이드 $ \bH $ 의 호모모듈러스 대수 $ A $ 에서 $ \bH_L $-갈루아 조건과 $ \bH_R $-갈루아 조건이 언제 동치가 되는가?
• RQ3 코링에 대한 모리타 이론은 어떻게 힉프 알geb로이드 맥락에서 갈루아 확장을 특성화하는 데 적응될 수 있는가?
• RQ4 쌍대사상은 힉프 알geb로이드 확장에서 왼쪽과 오른쪽 갈루아 구조 간의 대칭성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 크라이머-타케우치 정리는 비가환 기저 대수를 갖는 힉프 알geb로이드로 일반화될 수 있으며, 이를 위해 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 유한 생성 프로젝티브 힉프 알geb로이드 $ \bH $ 와 전단사 쌍대사상 조건 하에서, 정규화 사상 $ A \bigotimes_B A \to A \bigotimes_L \bH $ 의 상사상이 전단사이며, $ A $ 가 $ B $-모듈로서의 프로젝티브성을 갖는다.
• 쌍대사상 $ \bH $ 가 전단사일 경우, 임의의 $ \bH $-호모모듈러스 대수 $ A $ 의 $ \bH_L $-코인variants 와 $ \bH_R $-코인variants 가 일치하여, 왼쪽과 오른쪽의 구조 간 대칭성이 보장된다.
• 표준 코링 $ (A \bigotimes_L \bH : A) $ 가 갈루아일 조건은 확장 $ B \to A $ 가 $ \bH $-갈루아 확장일 때이고, 이는 갈루아 확장의 코링 이론적 특성화를 일반화한다.
• 프로베니우스 힉프 알geb로이드 $ \bH $ 에서, 확장 $ B \to A $ 가 $ \bH $-갈루아 확장일 조건은 비퇴화된 왼쪽 적분 $ {}^*\rho $ 에 대해 사상 $ a \bigotimes_B a' \to (\rho_R \rtimes a)({}^*\rho \rtimes 1)(\rho_R \rtimes a') $ 가 상사상임을 필요로 한다.
• 대수 $ A $ 의 오른쪽 $ \bH_R $-호모모듈러스 구조에 관련된 모리타 컨텍스트는 스매시 프로덕트 $ {}^*\bH \rtimes A $ 와 관련된 모리타 컨텍스트와 동치이며, 코헨-피시만-몬고메리의 프레임워크를 확장한다.
• 만약 $ k $-대수 $ {}^*\bH \rtimes A $ 가 단순할 경우, 확장 $ B \to A $ 는 $ \bH $-갈루아 확장이며, 이는 유한 차원 힉프 대수에서의 결과를 힉프 알geb로이드 맥락으로 일반화한다.