[논문 리뷰] Galois theory, motives and transcendental numbers

Yves André|ArXiv.org|2008. 05. 16.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 4인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 그로텐디크의 모티브 이론을 활용하여 초월수에 대한 추측적 갈루아 이론적 프레임워크를 제안한다. π와 타원적 적분과 같은 주기들이 대수적 수와 유사하게 잘 정의된 공액수와 갈루아 군을 가질 수 있음을 시사한다. π의 경우 갈루아 군은 ℚ×이며, 일반적인 타원적 주기의 경우 갈루아 군은 GL₂(ℚ)이며, CM 경우는 카르탕 부분군의 정규화군이 된다. 이와 같은 모티브 갈루아 군은 다중 리만 제타 함수 간의 대수적 관계를 제어한다.

ABSTRACT

From its early beginnings up to nowadays, algebraic number theory has evolved in symbiosis with Galois theory: indeed, one could hold that it consists in the very study of the absolute Galois group of the field of rational numbers. Nothing like that can be said of transcendental number theory. Nevertheless, couldn't one associate conjugates and a Galois group to transcendental numbers such as $π$? Beyond, can't one envision an appropriate Galois theory in the field of transcendental number theory? In which role? The aim of this text is to indicate what Grothendieck's theory of motives has to say, at least conjecturally, on these questions.

연구 동기 및 목표

• 대수적 수에서 초월수, 특히 주기로까지 갈루아 이론적 프레임워크를 확장할 수 있는지 탐구한다.
• π와 타원곡선의 주기와 같은 초월수들이 잘 정의된 공액수와 갈루아 군을 갖는지 조사한다.
• 그로텐디크의 모티브 이론을 초월수 이론, 특히 모티브 갈루아 군을 통해 연결한다.
• 다중 리만 제타 함수 간의 대수적 관계를 제어하는 모티브 갈루아 군의 역할을 탐색한다.
• 모티브 갈루아 이론과 가속적 갈루아 이론 간의 개념적 다리를 구축한다.

제안 방법

• 초월수 α의 공액수 집합은 그 주기의 유리수 스칼라 곱의 선형 결합으로 정의되며, 예를 들어 ℚ×·π 또는 Lℚ\{0} (타원적 주기의 경우)이다.
• 갈루아 폐쇄는 공액수들로 생성되는 ℚ[α]_gal로 정의되며, 예를 들어 π의 경우 ℚ[π], 타원곡선의 경우 ℚ[ω₁,ω₂]이다.
• 갈루아 군 G_α는 공액수 집합 위에 추이적으로 작용하는 갈루아 폐쇄의 자명사상들의 군으로 정의된다.
• π의 경우 G_π = ℚ×이며, 일반적인 타원적 주기의 경우 G_α = GL₂(ℚ), CM 경우 G_α = N_K (카르탕 부분군의 정규화군)이다.
• 그로텐디크의 주기 추측과 모티브 갈루아 군을 이용하여 다중 리만 제타 함수 간의 대수적 관계를 제어한다.
• 모티브 갈루아 군을 가우스-마이너 연결의 미분 갈루아 군과 연결하며, L_mot(s) ⊆ L(s) ⊆ L_dif(s)임을 보이고, 일반적으로 등호가 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 π와 타원곡선의 주기와 같은 초월수로 갈루아 이론적 프레임워크를 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 π와 같은 초월수에 대해 공액수와 갈루아 군의 적절한 정의는 무엇인가?
• RQ3 모티브 갈루아 군은 다중 리만 제타 함수 간의 대수적 관계를 어떻게 제어하는가?
• RQ4 가속적 갈루아 군과 모티브 갈루아 군은 대수적 다양체의 가속적 가중치에서 어떤 관계를 가진다?
• RQ5 어떤 경우에 모티브 갈루아 군이 대수적 매개변수로의 전문화 시 미분 갈루아 군과 일치하는가?

주요 결과

• π의 경우 갈루아 군은 ℚ×이며, ℚ×·π 위에 추이적으로 작용하며 고정체는 ℚ이다.
• 일반적인 타원적 주기(비-CM)의 경우 갈루아 군은 GL₂(ℚ)이며, Lℚ\{0} 위에 추이적으로 작용하며 고정체는 ℚ이다.
• CM 경우, 갈루아 군은 K×와 동형인 카르탕 부분군의 정규화군 N_K이며, 주기의 링은 이 군에 대한 토르서(주기의 링)이다.
• 다중 리만 제타 함수의 모티브 갈루아 군은 ℚ×에 대해 프루니피otent 군을 포함하는 확장으로 추측되며, 홀수 차수 >1에서 자유 리 대수를 가진다.
• 무게 s인 다중 리만 제타 함수의 ℚ-벡터 공간 ℤ_s의 차원은 (1−x²−x³)^−1의 x^s 계수인 d_s에 의해 상한으로 제한된다.
• 일반적인 s에 대해서는 모티브 갈루아 군이 미분 갈루아 군과 일치하지만, CM 경우 모티브 군은 미분 군보다 엄밀히 작다.