[논문 리뷰] Gap-planar Graphs

Hugo A. Akitaya, R. Inkulu외 9명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 25.

Interconnection Networks and Systems참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 시각화에서의 엣지 캐싱을 동기로 삼아, 각 엣지가 최대 k번의 교차를 가질 수 있는 비평면 그래프인 k-gap-planar 그래프를 소개한다. 밀도 상한(√k·n의 O(√k·n) 엣지)을 확립하고, 1-gap-planar 식별 문제가 NP-완전임을 증명하며, 1-gap-planar인 완전 그래프 및 완전 이분 그래프를 특성화하여, Kₙ이 1-gap-planar임은 n ≤ 8일 때에만 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce the family of $k$-gap-planar graphs for $k \geq 0$, i.e., graphs that have a drawing in which each crossing is assigned to one of the two involved edges and each edge is assigned at most $k$ of its crossings. This definition is motivated by applications in edge casing, as a $k$-gap-planar graph can be drawn crossing-free after introducing at most $k$ local gaps per edge. We present results on the maximum density of $k$-gap-planar graphs, their relationship to other classes of beyond-planar graphs, characterization of $k$-gap-planar complete graphs, and the computational complexity of recognizing $k$-gap-planar graphs.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 교차 할당을 가진 새로운 '초평면 그래프'의 일종인 k-gap-planar 그래프를 체계화하고 분석하기.
• k-gap-planar 그래프의 최대 엣지 밀도를 결정하고, 이를 엄밀한 점근적 상한으로 설정하기.
• 완전 그래프 및 완전 이분 그래프 중 1-gap-planar인 그래프를 특성화하기.
• k-gap-planar 그래프 식별 문제의 계산 복잡도를 조사하기.
• k-gap-planar 그래프가 k-평면 및 준평면 그래프와 같은 다른 초평면 그래프 계열과 어떻게 관련되어 있는지 탐색하기.

제안 방법

• 각 교차를 관여한 두 엣지 중 하나에 할당함으로써 k-gap-planar 그래프를 제안하며, 각 엣지가 최대 k번의 교차를 가짐을 보장한다.
• 극한 그래프 이론과 평면화 기법을 사용하여 엣지 밀도에 대한 상한을 유도한다.
• 홀의 조건을 변형하여 교차에 대한 매칭 조건을 통해 k-gap-planar 그래프를 특성화한다.
• 3-Partition 문제에서의 NP-완전성 감소를 통해 식별 문제가 NP-완전함을 증명하며, 고정된 회전 체계 조건 하에서도 성립함을 보인다.
• 완전 및 완전 이분 그래프에 대해 1-gap-planar 그림을 명시적으로 구성하여 엄밀한 상한을 확립한다.
• 구조적 및 밀도적 분석을 통해 k-gap-planar 그래프가 k-평면 및 (2k+2)-준평면 그래프와 어떻게 관련되어 있는지 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n개 정점을 가진 k-gap-planar 그래프에서 최대 엣지 수는 얼마이며, 이 상한을 더 견고하게 만들 수 있는가?
• RQ2 완전 그래프 Kn이 1-gap-planarity를 가질 수 있는 조건은 무엇이며, 이 성립이 가능한 최대 n 값은 얼마인가?
• RQ3 고정된 회전 체계 조건 하에서도 1-gap-planar 그래프 식별 문제가 NP-완전한가?
• RQ4 k-gap-planar 그래프는 k-평면 및 준평면 그래프와 같은 다른 초평면 그래프 계열과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 1-gap-planar 그래프는 낮은 굽힘 수를 가진 RAC 그림을 가질 수 있으며, 이는 팬-평면 그래프와 어떤 관계를 가진다?

주요 결과

• n개 정점을 가진 k-gap-planar 그래프는 O(√k·n)개의 엣지를 가지며, 이 상한은 상수 인자 범위 내에서 엄밀하다.
• k=1일 때, 1-gap-planar 다중그래프는 최대 5n−10개의 엣지를 가지며, 이 상한은 모든 n≥20에 대해 엄밀하다.
• 완전 그래프 Kₙ은 n≤8이면 1-gap-planar이 되며, 그 외의 경우 그렇지 않다.
• 완전 이분 그래프 K₅,₆는 1-gap-planar 그림을 가지지만, K₅,₇는 교차 수 제약으로 인해 그렇지 않다.
• 1-gap-planar 그래프 식별 문제는 고정된 회전 체계 조건 하에서도 NP-완전하다.
• 2k-평면 그래프의 클래스는 k-gap-planar 그래프의 진부분집합이며, 이는 (2k+2)-준평면 그래프의 진부분집합이다.