[논문 리뷰] Gauging Non-Invertible Symmetries: Topological Interfaces and Generalized Orbifold Groupoid in 2d QFT

Oleksandr Diatlyk, Conghuan Luo외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 11. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 양자장이론에서 비가역 대칭을 평가하기 위한 프레임워크를 개발한다. 이는 위상적 인터페이스와 일반화된 오르비폭드 군환을 사용한다. 일반화된 게이징—이전에 범주론적으로 형식화된 바가 있다—가 위상적 인터페이스를 통해 물리적으로 실현 가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 체계적인 분류를 가능하게 하고, 등각장이론에서 새로운 자기 dualities를 도출한다. 특히 이슬링 2 CFT에서는 무한한 비가역 자기 dualities를 포함한다.

ABSTRACT

Gauging is a powerful operation on symmetries in quantum field theory (QFT), as it connects distinct theories and also reveals hidden structures in a given theory. We initiate a systematic investigation of gauging discrete generalized symmetries in two-dimensional QFT. Such symmetries are described by topological defect lines (TDLs) which obey fusion rules that are non-invertible in general. Despite this seemingly exotic feature, all well-known properties in gauging invertible symmetries carry over to this general setting, which greatly enhances both the scope and the power of gauging. This is established by formulating generalized gauging in terms of topological interfaces between QFTs, which explains the physical picture for the mathematical concept of algebra objects and associated module categories over fusion categories that encapsulate the algebraic properties of generalized symmetries and their gaugings. This perspective also provides simple physical derivations of well-known mathematical theorems in category theory from basic axiomatic properties of QFT in the presence of such interfaces. We discuss a bootstrap-type analysis to classify such topological interfaces and thus the possible generalized gaugings and demonstrate the procedure in concrete examples of fusion categories. Moreover we present a number of examples to illustrate generalized gauging and its properties in concrete conformal field theories (CFTs). In particular, we identify the generalized orbifold groupoid that captures the structure of fusion between topological interfaces (equivalently sequential gaugings) as well as a plethora of new self-dualities in CFTs under generalized gaugings.

연구 동기 및 목표

• 2D QFT에서 가역 대칭을 넘어서 비가역 일반화된 대칭의 게이징 개념을 확장한다.
• 위상적 인터페이스를 통한 융합 범주에서의 대수 객체와 모듈러 범주에 대한 물리적 해석을 제공한다.
• 보조 분석과 위상적 인터페이스 융합을 이용한 일반화된 게이징의 체계적 분류 방법을 수립한다.
• 일반화된 게이징 하에서 등각장이론에서 새로운 자기 dualities와 숨겨진 구조가 어떻게 나타나는지 보여준다.
• 위상적 인터페이스를 갖는 QFT의 물리적 공리로부터 범주론에서의 수학적 정리(예: 모듈러 범주의 성질)를 유도한다.

제안 방법

• 일반화된 게이징을 QFT 간의 위상적 인터페이스를 포함하는 물리적 과정으로 기술함으로써, 대수 객체와 모듈러 범주와 같은 수학적 구조를 관측 가능한 QFT 현상과 연결한다.
• 2D QFT에서 위상적 결함선(TDLs)을 사용하여 비가역 대칭을 표현하며, 융합 규칙은 융합 범주에 의해 기록된다.
• 보조 접근법을 적용하여 위상적 인터페이스를 분류함으로써 가능한 일반화된 게이징과 그 일관성 조건을 나열한다.
• 일반화된 오르비폭드 군환을 도입하여 순차적 게이징과 위상적 인터페이스 융합을 기술하며, 다중 게이징의 대수적 구조를 포괄한다.
• 차원 제약과 양자 차원 조건을 사용하여 게이징에 적합한 대수 객체를 걸러내며, 예를 들어 WZW 모델에서의 이진 대수를 포함한다.
• 완전한 F-기호 데이터 없이도 물리적 일관성 조건을 사용하여 쌍대 대수의 F-기호와 곱셈 사상의 값을 고정한다.

Figure 1 : Positive configurations of TDLs in the positive gauge ( $\theta_{ijk}>0$ ) for the F-matrices.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D QFT에서 비가역 대칭은 어떻게 게이징할 수 있으며, 이 과정을 뒷받침하는 물리적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ2 위상적 인터페이스는 일반화된 게이징을 어떻게 실현하고 서로 다른 QFT를 어떻게 연결하는가?
• RQ3 일반화된 오르비폭드 군환은 어떻게 구성되어 순차적 게이징과 위상적 인터페이스 융합을 기술하는가?
• RQ4 일반화된 게이징이 등각장이론에서 자기 dualities를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 QFT의 물리적 공리(위상적 인터페이스 포함)는 어떻게 범주론에서의 수학적 정리(예: 모듈러 범주의 성질)를 도출하는가?

주요 결과

• 논문은 비가역 자기 dualities의 무한한 가족을 이슬링² CFT에서 특정한 비가역 TDLs를 갖는 랭크 4 융합 범주에 대한 일반화된 게이징을 통해 규명하였다.
• 스핀(5)₁ CFT에서 이중 이진 대수 B = 1 ⊕ D₁′′ 가 구성되었으며, 양자 차원 ⟨D₁′′⟩ = 2 − √3 이다. 이 대수를 B-메쉬 장식에 사용할 경우, SU(2)₁₀ CFT의 대각형 모듈러 불변량을 재현한다.
• 쌍대 대수의 곱셈 사상은 물리적 일관성 조건을 사용하여 명시적으로 계산되었으며, F-기호 데이터가 완전하지 않아도 m₄₄⁴ = √(√3 − 1) 및 m₄₄¹ = 1/√(3 + √3) 를 도출할 수 있었다.
• Rep(H₈) 및 Rep(D₈)에 대해 일반화된 오르비폭드 군환이 유도되었으며, 위상적 인터페이스 융합이 군론적 융합 범주 위의 모듈러 범주에 대응함을 보였다.
• 이슬링² CFT에서 연속적인 비가역 대칭의 존재는 일반화된 게이징의 무한차원 공간을 이끌어내며, 풍부한 이중성 웹의 존재를 암시한다.
• SU(2)₁₀ CFT에서 쌍대 대수의 구성은 정확한 토러스 분할 함수를 재현함으로써, 프레임워크의 물리적 일관성을 검증하였다.

Figure 4 : The separability, associativity, Frobenius, and unit conditions on the algebra object $(A,m,m^{\dagger},u,u^{\dagger})$ . Here we have written them in the positive gauge. In the general gauge, the comultiplication morphism $m^{\dagger}$ and the counit $u^{\dagger}$ should be replaced by $