[논문 리뷰] Gaussian Noise Sensitivity and BosonSampling

Gil Kalai, Guy Kindler|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 22인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 가우시안 행렬의 제곱행렬식의 노이즈 민감도를 조사한다. 이는 보손샘플링의 핵심 구성 요소이다. 노이즈 수준이 $\omega(1/n)$를 초과할 경우, 노이즈가 있는 결과와 노이즈가 없는 결과 간의 상관관계는 0으로 수렴하며, 이는 노이즈가 있는 보손샘플링이 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있음을 의미한다. 이는 고장내성 없이 양자 우월성을 입증하는 데 어려움을 제기한다.

ABSTRACT

We study the sensitivity to noise of |permanent(X)|^2 for random real and complex n x n Gaussian matrices X, and show that asymptotically the correlation between the noisy and noiseless outcomes tends to zero when the noise level is ω(1)/n. This suggests that, under certain reasonable noise models, the probability distributions produced by noisy BosonSampling are very sensitive to noise. We also show that when the amount of noise is constant the noisy value of |permanent(X)|^2 can be approximated efficiently on a classical computer. These results seem to weaken the possibility of demonstrating quantum-speedup via BosonSampling without quantum fault-tolerance.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 $n \times n$ 행렬에서 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 의 가우시안 노이즈에 대한 민감도를 조사하기 위해.
• 실제 노이즈 모델 하에서 노이즈가 있는 보손샘플링이 고전적 컴퓨터에게 여전히 계산적으로 어려운지 평가하기 위해.
• 노이즈가 이상적 결과와 상관관계를 상실하게 되는 임계점, 즉 양자 우월성의 기반을 흔들게 되는 시점을 규명하기 위해.
• 노이즈가 있는 보손샘플링이 낮은 깊이의 고전적 회로로 근사 가능한지 탐색하여 고전적 시뮬레이션 가능성을 확인하기 위해.
• 더 넓은 적용 가능성을 위해 일반 다항식과 베르누이 행렬과 같은 다른 행렬 집합으로의 통찰 확장하기 위해.

제안 방법

• 노이즈 모델 $Y = \sqrt{1-\epsilon}X + \sqrt{\epsilon}U$ 를 사용하여 $\epsilon$-노이즈를 정의한다. 여기서 $U$ 는 독립적인 가우시안 행렬이다.
• 실수 및 복소수 경우에서 푸리에-에르미트 및 수직 함수 전개를 적용하여 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 에 대한 노이즈 연산자의 작용을 분석한다.
• 헤르미트 전개의 차수별 $L^2$-노름 분포를 계산하여 실수 경우에서 차수-$2k$ 계수는 $(k+1)(n!)^2$ 이고, 복소수 경우에서는 $(n!)^2$ 이다.
• 명시적인 상관관계 경계를 유도한다: $\mathrm{corr}(f,g) = \sqrt{\frac{(1-(1-\epsilon)^n)(2-\epsilon)}{\epsilon n(1+(1-\epsilon)^n)}}$, 이는 $\epsilon = \omega(1/n)$ 일 때 0으로 수렴한다.
• 상수 $\epsilon > 0$ 일 경우, 노이즈가 있는 출력이 고도 $d$ 다항식으로 근사 가능하며 $d \gg 1/\epsilon$ 이고, 이러한 근사는 다항시간 내에 계산 가능하다는 것을 보여준다.
• 정규화 항 $h(A) = \mathsf{permanent}(AA^*)$ 과 반복된 열을 가진 행렬식으로의 분석을 확장하여 $m \ll n$ 영역에 관련된 내용을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈 수준 $\epsilon$ 에 따라 이상적 결과와 노이즈가 있는 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 간의 상관관계는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 이상적 결과와 노이즈가 있는 보손샘플링 결과 간의 상관관계가 0으로 감소하는 노이즈 수준은 어느 정도인가?
• RQ3 노이즈가 상수이거나 $\omega(1/n)$ 이상일 경우, 노이즈가 있는 보손샘플링은 고전적 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ4 노이즈 민감도가 근사 보손샘플링의 계산적 난이도를 얼마나 깎아내리는가? 이는 양자 우월성 주장에 어떤 도전을 제기하는가?
• RQ5 결과는 이방형 베르누이 행렬과 같은 다른 행렬 집합이나 행렬식을 초월한 다항식으로 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• $\epsilon = \omega(1/n)$ 일 경우, $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 와 그 노이즈가 있는 변형 간의 상관관계는 0으로 수렴하며, 이는 이상적 출력과의 상관관계 상실을 의미한다.
• 상수 $\epsilon > 0$ 일 경우, 노이즈가 있는 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 는 $d \gg 1/\epsilon$ 인 차수 $d$ 다항식으로 근사 가능하며, 이러한 근사는 다항시간 내에 계산 가능하다.
• 노이즈가 있는 출력은 상수 오차 내에서 상수 깊이의 회로로 근사 가능하므로, 노이즈가 있는 보손샘플링은 $\mathbf{P}$ 에 속한다.
• 복소수 경우의 명시적 상관관계 공식은 $\epsilon = c/n$ 일 때 $\mathrm{corr}(f,g) = \sqrt{\frac{2(1-e^{-c})}{c(1+e^{-c})}}$ 이며, $c \to \infty$ 일 때 0으로 수렴한다.
• 정규화 항 $h(A) = \mathsf{permanent}(AA^*)$ 도 유사한 노이즈 민감도 행동을 보이며, 전체 보손샘플링 분포에 대한 광범위한 함의를 시사한다.
• 결과는 현실적인 노이즈 모델이 보손샘플링을 고전적으로 시뮬레이션 가능하게 만들 수 있으며, 고장내성 없이 양자 우월성을 주장하는 데의 기반을 약화시킨다.