[논문 리뷰] General constructions of L$_{\infty}$ algebras

Olaf Hohm, Vladislav Kupriyanov외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 28.

Advanced Topics in Algebra인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 자코비 항등식을 만족하지 않는 임의의 반대칭 괄호로부터 L$_\infty$ 대수를 구성하며, 이러한 괄호가 항상 2항 L$_\infty$ 대수로 확장되며, 자코비에이터를 코딩하는 3항 괄호를 포함함을 보여준다. 또한 자코비에이터가 이상을 정의하는 선형 사상의 상에 떨어질 경우, 비자명한 4항 괄호를 가진 3항 L$_\infty$ 대수의 일반적 존재성을 증명하며, 옥타니온, R-플럭스 대수, 코르던트 대수 등에 적용된다.

ABSTRACT

We construct L$_{\infty}$ algebras for general `initial data' given by a vector space equipped with an antisymmetric bracket not necessarily satisfying the Jacobi identity. We prove that any such bracket can be extended to a 2-term L$_{\infty}$ algebra on a graded vector space of twice the dimension, with the 3-bracket being related to the Jacobiator. We then prove the significantly more general theorem that if the Jacobiator takes values in the image of any linear map that defines an ideal there is a 3-term L$_{\infty}$ algebra with a generally non-trivial 4-bracket. We discuss special cases such as the commutator algebra of octonions, its contraction to the `R-flux algebra', and the Courant algebroid.

연구 동기 및 목표

• 자신의 자코비 항등식을 만족하지 않을 수 있는 반대칭 괄호를 갖는 벡터 공간에서 L$_\infty$ 대수를 일반화하여 구성하는 것.
• 자코비에이터가 0이 아닐 경우 이러한 괄호를 일관된 L$_\infty$ 구조로 확장하는 데 도전하는 문제를 다루는 것.
• 자코비에이터의 상에 기반하여 비자명한 고차 괄호를 가진 3항 L$_\infty$ 대수의 존재에 대한 일반 기준을 수립하는 것.
• 옥타니온의 교환자 대수, R-플럭스 변형, 코르던트 대수와 같은 물리적 및 대수적 구조에 대한 구성의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 원래 차원의 두 배인 차수를 가진 벡터 공간 위에 2항 L$_\infty$ 대수를 정의하며, 3항 괄호는 초기 괄호의 자코비에이터로부터 명시적으로 구성된다.
• 이상을 정의하는 선형 사상의 상을 자코비에이터의 도메인으로 삼아, 비자명한 4항 괄호를 가진 3항 L$_\infty$ 대수로의 확장을 가능하게 한다.
• 자코비 항등식의 실패와 자코비에이터의 상 조건을 이용하여 고차 괄호(3항 및 4항)를 재귀적으로 구성한다.
• 고차 괄호가 호모토피를 통해 일반화된 자코비 항등식을 만족함을 보여, L$_\infty$ 관계를 검증한다.
• 특수한 예시, 즉 옥타니온의 교환자 대수와 그의 수축을 통한 R-플럭스 대수에 일반 구성법을 적용한다.
• 유도 괄호 형식론을 통해 얻어진 L$_\infty$ 구조를 기하적 대상인 코르던트 대수와 연관시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자코비 항등식을 만족하지 않는 임의의 반대칭 괄호는 항상 일관된 L$_\infty$ 대수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건이 자코비에이터가 비자명한 4항 괄호를 가진 3항 L$_\infty$ 대수의 구성 가능성을 보장하는가?
• RQ3 이상을 정의하는 선형 사상의 상은 L$_\infty$ 대수의 고차 괄호 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 자코비에이터는 결과 L$_\infty$ 대수의 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반적 구성법은 옥타니온의 교환자 대수나 R-플럭스 대수와 같은 물리적으로 관련된 대수에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 반대칭 괄호는 차원이 두 배인 차수를 가진 벡터 공간 위에서 2항 L$_\infty$ 대수로 확장될 수 있다.
• 2항 구성에서 3항 괄호는 초기 괄호의 자코비에이터에 의해 명시적으로 결정된다.
• 자코비에이터가 이상을 정의하는 선형 사상의 상에 값이 떨어지면, 비자명한 4항 괄호를 가진 3항 L$_\infty$ 대수가 존재한다.
• 자코비에이터가 식별적으로 0이 아니며 주어진 상에 떨어지면, 구성법은 비자명한 4항 괄호를 도출한다.
• 이 방법은 옥타니온의 교환자 대수에 적용되어 비자명한 고차 괄호를 가진 3항 L$_\infty$ 대수를 생성한다.
• R-플럭스 대수는 옥타니온 L$_\infty$ 구조의 수축을 통해 유도되며, 이는 그 일관된 L$_\infty$ 표현을 확인한다.