[논문 리뷰] General Relativity à la string: a progress report

T. Regge, Claudio Teitelboim|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 15.

Relativity and Gravitational Theory인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론을 고차원 다양체(예: R¹⁰)에 임베딩된 시공간 변수를 사용하여 표준형으로 제시한다. 여기서 메트릭이 아니라 임베딩 함수를 기본 장으로 간주한다. 이 접근법은 끈 이론의 형식과 유사하게 설계되었지만 핵심적 장애물은 여전히 존재한다: 법선 방향 변형의 생성자('네 번째 제약')는 아직 닫힌 형태로 표현되지 못해 이론이 완전하지 못하다. 비록 끈 이론과 캐논리컬 중력 이론 사이에 유사한 구조적 특징이 있긴 하지만 말이다.

ABSTRACT

Preliminary results on a canonical formulation of general relativity based on an analogy with the string model of elementary particles are presented. Rather than the metric components, the basic fields of the formalism are taken to be the functions describing the embedding of four dimensional spacetime in a ten or possibly higher dimensional manifold. So far, the main drawback of the formalism is that the generator of normal deformations ("fourth constraint") cannot be written down in closed form. The present approach is compared and contrasted with the usual one and with the canonical description of the relativistic string.

연구 동기 및 목표

• 임베딩 좌표를 기본 변수로 사용하여 끈 모델의 구조를 모방하는 일반 상대성 이론의 캐논리컬 제형을 개발하는 것.
• 특히 게이지 고정을 구현하기 어려운 점과 일관된 양자 이론을 구성하기 곤란한 점을 해결하고자 기존의 ADM 형식의 한계를 극복하는 것.
• 4차원 시공간을 고차원 다양체(예: R¹⁰)에 임베딩함으로써 중력에 대한 새로운, 더 다룰 수 있는 캐논리컬 프레임워크를 가능하게 할 수 있는지 탐색하는 것.
• 임베딩 형식에서 유도된 제약 조건—특히 법선 변형 제약 조건—이 일차 제약 조건(first class)이 될 수 있는지 평가하는 것.
• 이 임베딩 기반 형식에서 끈 이론의 DDF 유사 연산자들이 구축 가능한지 탐구하는 것.

제안 방법

• 4차원 시공간이 좌표 함수 $ y^A(x^ u) $ 를 통해 10차원 이상의 다양체에 임베딩되는 고차원 임베딩 형식을 채택하여, 이러한 함수들을 기본 역학 변수로 간주한다.
• 스칼라 곡률과 시공간 메트릭을 임베딩 함수와 그 일阶 및 이阶 도함수로 표현함으로써 힐베르트 작용에서 캐논리컬 구조를 유도한다.
• 임베딩 기하학에서 유도된 제약 조건 $ ilde{ ho}_ u $ 와 $ G_{oteta} $ 를 도입하며, 여기서 $ G_{oteta} $ 는 해밀토니안 및 운동량 제약 조건의 역할을 한다.
• 공액 모멘타 $ ilde{ ho}^A $ 와 임의의 행렬 $ M_{AB} $ 을 사용하여 법선 변형 제약 조건 $ ilde{ ho}_ot $ 을 표현하고자 尝시한다. 이 행렬 $ M_{AB} $ 은 유도된 메트릭과 임베딩 도함수로부터 구성된다.
• 행렬 $ M_{AB} $ 은 공간 기울기 $ ilde{y}_{,i} $ 에 수직인 부분공간에 제한된 $ W_{AB} $ 의 역행렬로 정의되며, 이는 제약 조건을 닫힌 형태로 표현할 가능성을 제공한다.
• 8개의 제약 조건(4개의 $ G_{oteta} $ 와 4개의 $ ilde{ ho}_i $)의 푸아송 괄호 닫힘을 분석하여, 이들이 일차 제약 조건인지 확인함으로써 이론의 일관성과 아인슈타인 방정식과의 동치성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론은 고차원 공간에서의 임베딩 좌표를 사용하여 캐논리컬으로 재구성할 수 있는가? 이는 끈 이론의 접근 방식과 유사한가?
• RQ2 왜 법선 변형의 생성자('네 번째 제약')는 아직 닫힌 형태로 표현되지 못하는가? 완전한 캐논리컬 제형을 얻는 것을 막는 요소는 무엇인가?
• RQ3 임베딩 형식에서 유도된 제약 조건—특히 $ G_{otot} $, $ G_{ot i} $, $ ilde{ ho}_ot $, $ ilde{ ho}_i $—는 일차 제약 조건인가? 그 닫힘은 이론의 일관성에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 임베딩 기하학에서 유도된 행렬 $ M_{AB} $ 은 해밀토니안 제약 조건의 닫힌 형태 표현을 위해 사용될 수 있는가?
• RQ5 이 임베딩 기반 중력 형식에서 끈 이론의 DDF 연산자와 유사한 새로운 유형의 연산자가 존재하는가?

주요 결과

• 이 형식은 시공간 메트릭과 곡률을 임베딩 함수 $ y^A $ 와 그 공액 모멘타로 재표현하여 일반 상대성 이론을 성공적으로 재구성한다.
• 제약 조건 $ ilde{ ho}_i \to 0 $ 과 $ G_{oteta} \to 0 $ 는 임베딩 기하학에서 유도되며, 여기서 $ G_{oteta} $ 는 해밀토니안 및 운동량 제약 조건의 역할을 한다.
• 법선 변형 제약 조건 $ ilde{ ho}_ot $ 은 $ \tilde{\rho}_\bot \to g^{1/2} \big( (M^2)_{AB} \tilde{\rho}^A \tilde{\rho}^B + 1 \big) \to 0 $ 로 표현되며, 여기서 $ M_{AB} $ 는 $ \tilde{y}_{,i} $ 에 수직인 부분공간에 제한된 $ W_{AB} $ 의 역행렬이다.
• 행렬 $ M_{AB} $ 는 대칭이며 임베딩 함수와 그 일阶 및 이阶 도함수로부터 구성되지만, $ \tilde{y}_{,i} $ 에 해당하는 영공간 방향으로 인해 전체 공간에서의 가역성이 없어 유도 과정을 복잡하게 한다.
• 8개의 제약 조건((35a)-(35d))은 형식적으로 닫혀 있지만, $ M_{AB} $ 의 구조에 대한 정보가 부족하여 일차 제약 조건임이 증명되지 않았다.
• 만약 제약 조건들이 일차 제약 조건이라면 이론은 일관성 있고 아인슈타인 방정식과 동치가 된다; 그렇지 않다면 이론은 물리적 자유도를 줄이기보다는 단지 게이지 조건을 고정할 뿐일 수 있다.