[논문 리뷰] Generalising tractable VCSPs defined by symmetric tournament pair multimorphisms

Vladimir Kolmogorov, Stanislav Živný|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 18.

Constraint Satisfaction and Optimization참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가용 제약 만족 문제(VCSP)를 일반화하기 위해 하이브리드 다중형태 프레임워크를 도입한다: 부분 도메인에서 MJN 다중형태를 가지며 보완 도메인에서 STP(대칭 토너먼트 쌍) 다중형태를 가지는 언어는 트랙터블임을 보여준다. 이 방법은 강한 3일관성 강제를 통해 이러한 문제를 STP 추적 가능한 인스턴스로 감소시켜 기존의 하위모듈라 최소화 기법을 사용해 다항식 시간 내에 해결할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We study optimisation problems that can be formulated as valued constraint satisfaction problems (VCSP). A problem from VCSP is characterised by a \emph{constraint language}, a fixed set of cost functions taking finite and infinite costs over a finite domain. An instance of the problem is specified by a sum of cost functions from the language and the goal is to minimise the sum. We are interested in \emph{tractable} constraint languages; that is, languages that give rise to VCSP instances solvable in polynomial time. Cohen et al. (AIJ'06) have shown that constraint languages that admit the MJN multimorphism are tractable. Moreover, using a minimisation algorithm for submodular functions, Cohen et al. (TCS'08) have shown that constraint languages that admit an STP (symmetric tournament pair) multimorphism are tractable. We generalise these results by showing that languages admitting the MJN multimorphism on a subdomain and an STP multimorphisms on the complement of the subdomain are tractable. The algorithm is a reduction to the algorithm for languages admitting an STP multimorphism.

연구 동기 및 목표

• VCSP의 알려진 트랙터블리티 결과를 단일 다중형태 유형을 초월해 확장하기 위해.
• 혼합된 다중형태 구조를 가진다 하더라도 여전히 트랙터블인 더 넓은 제약 언어의 클래스를 식별하기 위해.
• 하이브리드 MJN 및 STP 다중형태를 가진 VCSP 인스턴스를 해결하기 위한 다항식 시간 알고리즘을 제공하기 위해.
• 가용 제약 만족 문제의 맥락에서 MJN 및 STP 다중형태에 대한 이전 결과를 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• 입력된 VCSP 인스턴스에 대해 강한 3일관성을 강제하여 문제의 구조를 단순화한다.
• 도메인을 MJN 다중형태가 적용되는 부분 도메인과 STP 다중형태가 적용되는 보완 도메인으로 분할한다.
• 일관성 강제 후, 문제는 STP 다중형태를 가지는 등가 인스턴스로 감소된다.
• 감소 과정은 해의 등가성을 유지하기 위해 수정된 단항 및 이항 비용 함수를 갖는 새로운 인스턴스를 구성하는 데 의존한다.
• 감소 과정 중 도메인 특화의 비용 행동을 시뮬레이션하기 위해 적절히 선택된 큰 상수 C를 사용한다.
• 다양한 변수 할당 간 허밍 거리에 대한 수학적 귀납법을 통해 정당성과 정확성을 증명하며, 다중형태 및 다형성의 성질을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VCSP의 트랙터블리티 결과는 단일 다중형태 유형을 초월해 확장될 수 있는가?
• RQ2 MJN 및 STP 다중형태를 다항식 시간 해결 가능성 유지 가능하게 조합할 수 있는가?
• RQ3 혼합된 다중형태 구조를 가진 제약 언어는 어떻게 트랙터블 형태로 감소될 수 있는가?
• RQ4 하이브리드 다중형태 구조가 여전히 트랙터블 VCSP를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 서브도메인에서 MJN 다중형태를 가지며 보완 도메인에서 STP 다중형태를 가지는 제약 언어는 트랙터블이다.
• 제안된 알고리즘은 이러한 문제를 STP 다중형태를 가지는 인스턴스로 감소시켜 기존의 하위모듈라 최소화 알고리즘을 활용할 수 있도록 한다.
• 강한 3일관성 강제가 STP 추적 가능한 인스턴스로의 감소를 가능하게 하는 데 충분하다.
• 감소의 정확성은 다형성 불변성과 함께 할당 간 허밍 거리에 대한 귀납법을 통해 증명된다.
• 크게 선택된 상수 C를 활용한 정교하게 설계된 변환을 통해 해의 등가성이 유지된다.
• 결과는 MJN 및 STP 다중형태에 대한 이전의 트랙터블리티 결과를 일반화하여, 이를 하나의 프레임워크 안에서 통합한다.