[논문 리뷰] Generalized description of intermittency in turbulence via stochastic methods

Jan Friedrich, Rainer Grauer|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 14.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확률과정을 이용해 난류 비균일성의 일반화된 기술을 제시하며, 마코프 과정 가정 하에 속도 증분 통계의 크라머-마요르 전개로부터 모든 주요 현상학적 난류 모델이 유도됨을 보여준다. 핵심 발견은 비균일성의 정확한 모델링을 위해서는 무한한 수의 크라머-마요르 계수를 필요로 하며, 포켈-플랭크 접근법에서의 계수 절단이 확률밀도함수 꼬리의 부정확한 행동을 초래한다는 것이다.

ABSTRACT

We present a generalized picture of intermittency in turbulence that is based on the theory of stochastic processes. To this end, we rely on the experimentally and numerically verified finding by R.~Friedrich and J.~Peinke [Phys. Rev. Lett. 78, 863 (1997)] that allows for an interpretation of the turbulent energy cascade as a Markov process of the velocity increments in scale. It is explicitly shown that all known phenomenological models of turbulence can be reproduced by the Kramers-Moyal expansion of the velocity increment probability density function that is associated to a Markov process. We compare the different sets of Kramers-Moyal coefficients of each phenomenology and deduce that an accurate description of intermittency should take into account an infinite number of coefficients. This is demonstrated in more detail for the case of Burgers turbulence that exhibits the strongest intermittency effects. Moreover, the influence of nonlocality on the Kramers-Moyal coefficients is investigated by direct numerical simulations of a generalized Burgers equation. Depending on the balance between nonlinearity and nonlocality, we encounter different intermittency behaviour that ranges from self-similarity (purely nonlocal case) to intermittent behaviour (intermediate case that agrees with Yakhot's mean field theory [Phys. Rev. E 63 026307 (2001)]) to shock-like behaviour (purely nonlinear Burgers case).

연구 동기 및 목표

• 스케일 간 속도 증분의 마코프 성질에 기반해 난류 비균일성을 기술하는 통합된 확률적 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존의 현상학적 모델들(예: K62, She-Leveque)이 크라머-마요르 계수의 특정 선택에 의해 유도됨을 보여주는 것.
• 포켈-플랭크 접근법에서 흔히 사용되는 크라머-마요르 전개의 절단이 비균일성의 기술, 특히 PDF 꼬리에서의 부정확함을 초래함을 보여주는 것.
• 일반화된 버거스 방정식의 직접 수치 시뮬레이션을 통해 비국소성과 비선형성의 역할을 분석하여 크라머-마요르 계수의 구조에 미치는 영향을 연구하는 것.
• 이 확률적 접근법을 전체 나비에-스토크스 난류로 확장할 수 있는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 스케일에 따른 에너지 캐스케이드를 마코프 과정으로 모델링하며, 서로 다른 스케일에서의 속도 증분이 크라머-마요르 전개에 의해 지배되는 확률적 전이 과정을 따르도록 하는 것.
• 크라머-마요르 전개를 사용해 속도 증분의 전이 확률밀도함수에 대한 포켈-플랭크 유형의 방정식을 유도하는 것.
• 특히 이동항과 산란항으로서의 적절한 크라머-마요르 계수를 선택하여 기존의 알려진 현상학적 모델들(예: K62, 캐스타인, 야코트)을 재현하는 것.
• 고차수 크라머-마요르 계수의 점근적 행동을 분석하여 비균일성 모델링의 정확도에 있어 그 필요성을 평가하는 것.
• 비선형성과 비국소성을 조절할 수 있는 일반화된 버거스 방정식의 직접 수치 시뮬레이션을 수행하여 크라머-마요르 계수를 계산하고 시스템 매개변수에 따른 의존성을 연구하는 것.
• 메린 변환과 로그정규 가정을 사용해 전이 PDF에 대한 해석적 해를 도출하고, 이를 현상학적 모델들과 비교하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 알려진 난류 현상학적 모델들이 크라머-마요르 전개에 기반한 단일 확률적 프레임워크에서 유도될 수 있는가?
• RQ2 고차수 크라머-마요르 계수는 속도 증분 PDF의 꼬리 기술에 있어 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일반화된 버거스 방정식에서 비선형성과 비국소성의 균형은 크라머-마요르 계수의 구조와 비균일성 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 관성 영역에서 속도 증분의 마코프 성질이 에너지 캐스케이드의 확률적 기술을 뒷받침하는 데 얼마나 타당한가?
• RQ5 크라머-마요르 접근법은 충분한 정확도로 나비에-스토크스 난류를 기술할 수 있는가?

주요 결과

• K62, She-Leveque, 캐스타인 등 모든 알려진 난류 현상학적 모델들은 크라머-마요르 전개에서 적절한 계수를 선택함으로써 재현될 수 있다.
• K62 모델에 대한 크라머-마요르 전개는 이동항 계수 $ a = \frac{1}{3} + \frac{\mu}{6} $ 와 산란항 계수 $ b = \frac{\mu}{18} $ 를 갖는 포켈-플랭크 방정식을 유도하며, 이는 로그정규 전이 PDF로 이어진다.
• K62 모델에서 유도된 전이 확률밀도함수는 $ r' = 1 $ 일 때 야코트의 공식과 일치하며, 필요한 바와 같이 큰 스케일에서 가우시안으로 감소한다.
• 캐스타인의 모델은 스케일에 의존하는 피팅 함수 $ s_0(r) $ 와 $ \lambda(r) $ 를 도입함으로써 동일한 해의 더 일반적인 형태로 회복된다.
• 일반화된 버거스 방정식의 수치 시뮬레이션 결과, 비선형성과 비국소성의 균형에 따라 크라머-마요르 계수가 연속적으로 변화하며, 자기유사성(순수 비국소성), 비균일성(중간), 충격 유사성(순수 비선형성)의 서로 다른 비균일성 영역을 이룬다.
• 분석 결과, 비균일성의 정확한 모델링을 위해서는 비영인 고차수 크라머-마요르 계수가 필요하며, 이는 포켈-플랭크 근사(2차까지 절단)가 전체 통계적 행동을 포괄하기에 부적절하다는 것을 시사한다.